数学2 対数関数 問題 34 解説

方針・初手

与えられた指数方程式の両辺の常用対数（10を底とする対数）をとり、$\log_{10} x$ と $\log_{10} y$ を未知数とする連立一次方程式に帰着させる。対数の基本的な性質である $\log_a M^p = p \log_a M$ や $\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$ を用いて式を整理する。

解法1

問題文において $\log_{10} x$ および $\log_{10} y$ が現れることから、真数条件より $x > 0, y > 0$ である。

まず、$x^3 = 48y^2$ の両辺の10を底とする対数をとると、

$$\log_{10} x^3 = \log_{10} (48y^2)$$

対数の性質を用いて右辺を変形すると、

$$3 \log_{10} x = \log_{10} 48 + \log_{10} y^2$$

ここで、$48 = 16 \times 3 = 2^4 \cdot 3$ であるから、

$$3 \log_{10} x = \log_{10} (2^4 \cdot 3) + 2 \log_{10} y$$

$$3 \log_{10} x - 2 \log_{10} y = 4 \log_{10} 2 + \log_{10} 3 \cdots (1)$$

となる。これを問題文の式 $[ア]\log_{10}x - [イ]\log_{10}y = [ウ]\log_{10}2 + \log_{10}3$ と比較すると、$ア=3$、$イ=2$、$ウ=4$ である。

次に、$y^5 = 54x^2$ についても同様に両辺の常用対数をとる。

$$\log_{10} y^5 = \log_{10} (54x^2)$$

$54 = 2 \times 27 = 2 \cdot 3^3$ であるから、

$$5 \log_{10} y = \log_{10} (2 \cdot 3^3) + \log_{10} x^2$$

$$5 \log_{10} y = \log_{10} 2 + 3 \log_{10} 3 + 2 \log_{10} x$$

移項して整理すると、

$$-2 \log_{10} x + 5 \log_{10} y = \log_{10} 2 + 3 \log_{10} 3 \cdots (2)$$

これで $\log_{10} x$ と $\log_{10} y$ についての連立方程式が導かれた。 (1) の両辺を2倍、(2) の両辺を3倍して辺々を足し合わせる。

$$6 \log_{10} x - 4 \log_{10} y = 8 \log_{10} 2 + 2 \log_{10} 3$$

$$-6 \log_{10} x + 15 \log_{10} y = 3 \log_{10} 2 + 9 \log_{10} 3$$

これらを足すと $\log_{10} x$ が消去され、

$$11 \log_{10} y = 11 \log_{10} 2 + 11 \log_{10} 3$$

両辺を11で割って、

$$\log_{10} y = \log_{10} 2 + \log_{10} 3$$

対数の性質より右辺をまとめると、

$$\log_{10} y = \log_{10} (2 \times 3) = \log_{10} 6$$

ゆえに、$y = 6$ である。

続いて、$\log_{10} y = \log_{10} 2 + \log_{10} 3$ を (1) に代入する。

$$3 \log_{10} x - 2 (\log_{10} 2 + \log_{10} 3) = 4 \log_{10} 2 + \log_{10} 3$$

$$3 \log_{10} x = 6 \log_{10} 2 + 3 \log_{10} 3$$

両辺を3で割ると、

$$\log_{10} x = 2 \log_{10} 2 + \log_{10} 3$$

対数の性質を用いて右辺をまとめると、

$$\log_{10} x = \log_{10} 2^2 + \log_{10} 3 = \log_{10} (4 \times 3) = \log_{10} 12$$

ゆえに、$x = 12$ である。 したがって、$x=12$、$y=6$ であり、$エ=12$、$オ=6$ となる。

解説

指数を含む連立方程式において、両辺の対数をとることで変数を $\log_{10} x$、$\log_{10} y$ とする線形な連立方程式に変換する典型的な問題である。定数項を $\log_{10} 2$ と $\log_{10} 3$ の一次結合の形で保持したまま加減法を用いると、計算の過程が見やすくなり計算ミスを防ぐことができる。

答え

ア: $3$, イ: $2$, ウ: $4$, エ: $12$, オ: $6$