数学2 対数関数 問題 35 解説

方針・初手

対数の底が $4$ と $\frac{1}{8}$ で異なっているため、まずは底の変換公式を用いて底を最もシンプルな $2$ に統一する。 その後、$X = \log_2 x$ とおき、$y$ を $X$ の2次関数に帰着させる。このとき、$x$ の値と $X$ の値の対応関係を調べ、2次関数が特定の条件で最大値をとることから未知数についての式を立てる。

解法1

真数条件より、$x > 0$ である。

底の変換公式を用いて、対数の底を $2$ に統一する。

$$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{1}{2}\log_2 x$$

$$\log_{\frac{1}{8}} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 \frac{1}{8}} = \frac{\log_2 x}{-3} = -\frac{1}{3}\log_2 x$$

これらを与えられた関数 $y$ に代入する。

$$y = a \left( \frac{1}{2}\log_2 x \right)^2 + b \left( -\frac{1}{3}\log_2 x \right) - 10$$

$$y = \frac{a}{4}(\log_2 x)^2 - \frac{b}{3}\log_2 x - 10$$

ここで、$X = \log_2 x$ とおく。$x > 0$ において、$X$ はすべての実数値をとる。 また、$x = \frac{1}{8}$ のとき、

$$X = \log_2 \frac{1}{8} = \log_2 2^{-3} = -3$$

である。

関数 $y$ を $X$ を用いて表すと、

$$y = \frac{a}{4}X^2 - \frac{b}{3}X - 10$$

となる。 条件より、この2次関数は $X = -3$ のとき最大値 $-1$ をとる。 $X$ はすべての実数値をとるため、2次関数が最大値をもつ条件から、上に凸である必要があり、2次の係数について $\frac{a}{4} < 0$ すなわち $a < 0$ が成り立つ。

さらに、頂点の座標が $(-3, -1)$ であるから、関数 $y$ は次のように表すことができる。

$$y = \frac{a}{4}(X + 3)^2 - 1$$

展開して整理すると、

$$y = \frac{a}{4}(X^2 + 6X + 9) - 1 = \frac{a}{4}X^2 + \frac{3a}{2}X + \frac{9a}{4} - 1$$

これが元の式と恒等的に等しくなるため、係数を比較する。

$X$ の係数について：

$$-\frac{b}{3} = \frac{3a}{2}$$

定数項について：

$$-10 = \frac{9a}{4} - 1$$

定数項の式から $a$ を求める。

$$\frac{9a}{4} = -9$$

$$a = -4$$

これは $a < 0$ を満たす。 （なお、$X$ の係数の式に $a = -4$ を代入すると $-\frac{b}{3} = -6$ となり $b = 18$ も求まるが、本問で求めるのは $a$ のみである。）

したがって、求める $a$ の値は $-4$ である。

解説

対数関数を含む関数の最大・最小問題における典型的な解法ステップである「底を統一する」「$\log_k x = X$ と置き換える」を忠実に実行する問題である。 置き換えを行った際は変数の定義域が変わることに注意が必要であるが、本問では $x>0$ に対し置き換えた後の変数 $X$ は実数全体をとるため、制限のない単純な2次関数の最大値問題に帰着される。 また、2次関数が「最大値」をもつ条件として、上に凸（つまり2次の係数が負）であることを確認する習慣をつけておくと、十分性の確認ができ、思わぬミスを防ぐことができる。

答え

$$a = -4$$