数学2 対数関数 問題 36 解説

方針・初手

与えられた条件式 $xy=100$ の両辺の常用対数をとることで、$\log_{10} x$ と $\log_{10} y$ の和に関する条件式を導くことができます。これにより、$X = \log_{10} x$、$Y = \log_{10} y$ とおけば、和 $X+Y$ が一定の条件下で $X^3+Y^3$ の最小値を求める問題に帰着します。1文字消去による関数への帰着、または対称式の性質を利用して解き進めます。

解法1

$x, y$ は正の実数であるから、$X = \log_{10} x$、$Y = \log_{10} y$ とおくと、$X, Y$ はすべての実数値をとり得る。

条件式 $xy=100$ の両辺の、底を10とする対数をとると

$$\log_{10} (xy) = \log_{10} 100$$

$$\log_{10} x + \log_{10} y = 2$$

よって

$$X + Y = 2$$

ゆえに、$Y = 2 - X$ となる。

求める式は $X^3+Y^3$ であるから、$X$ の関数 $f(X)$ として表すと

$$\begin{aligned} f(X) &= X^3 + (2 - X)^3 \\ &= X^3 + (8 - 12X + 6X^2 - X^3) \\ &= 6X^2 - 12X + 8 \\ &= 6(X^2 - 2X) + 8 \\ &= 6(X - 1)^2 - 6 + 8 \\ &= 6(X - 1)^2 + 2 \end{aligned}$$

$X$ はすべての実数値をとり得るため、$f(X)$ は $X = 1$ のとき最小値 $2$ をとる。

このとき、$Y = 2 - 1 = 1$ である。

$X = 1$ より $\log_{10} x = 1$ であるから

$$x = 10^1 = 10$$

$Y = 1$ より $\log_{10} y = 1$ であるから

$$y = 10^1 = 10$$

これらは $x > 0$、$y > 0$ を満たす。

解法2

解法1と同様に $X = \log_{10} x$、$Y = \log_{10} y$ とおくと、$X + Y = 2$ が成り立つ。

求める式 $X^3+Y^3$ を基本対称式 $X+Y$ と $XY$ を用いて変形すると

$$\begin{aligned} X^3 + Y^3 &= (X + Y)^3 - 3XY(X + Y) \\ &= 2^3 - 3XY \cdot 2 \\ &= 8 - 6XY \end{aligned}$$

ここで、$X, Y$ は実数であるから、$(X - Y)^2 \geqq 0$ が成り立つ。

これを基本対称式で表すと

$$\begin{aligned} (X + Y)^2 - 4XY &\geqq 0 \\ 2^2 - 4XY &\geqq 0 \\ 4XY &\leqq 4 \\ XY &\leqq 1 \end{aligned}$$

したがって

$$X^3 + Y^3 = 8 - 6XY \geqq 8 - 6 \cdot 1 = 2$$

等号が成立するのは、$XY = 1$ すなわち $(X - Y)^2 = 0$ より $X = Y$ のときである。

$X + Y = 2$ かつ $X = Y$ であるから、$X = 1, Y = 1$ のとき最小値 $2$ をとる。

このとき、$x = 10^1 = 10$、$y = 10^1 = 10$ であり、これらは正の実数であるという条件を満たす。

解説

対数の積の条件を和の条件に変換する、基本的な処理を問う問題です。底の条件や真数条件（本問では $x, y$ が正の実数であることがあらかじめ与えられています）を意識しながら、置き換えによって見通しを良くすることが重要です。

解法1は、1文字消去によって2次関数の最大・最小問題に持ち込む最も確実な方法です。

解法2は、式が対称式であることに着目した解法です。この場合、$X, Y$ が実数であるという条件を $(X-Y)^2 \geqq 0$（あるいは2次方程式の実数解条件として判別式 $D \geqq 0$）に翻訳し、$XY$ のとり得る値の範囲を求める過程が不可欠です。この実数条件の確認を忘れないように注意しましょう。

答え

$x = 10, y = 10$ のとき、最小値 $2$