数学2 対数関数 問題 37 解説

方針・初手

対数の性質を用いて関数を $\log_2 x$ の多項式で表す。その後、$t = \log_2 x$ と置き換えることで、$t$ の2次関数の最大・最小問題に帰着させる。変数を置き換えた際には、新しい変数の定義域を必ず確認する。

解法1

対数の性質 $\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$、および $\log_a MN = \log_a M + \log_a N$ を用いて与式を変形する。

$$\log_2 \frac{x}{8} = \log_2 x - \log_2 8 = \log_2 x - 3$$

$$\log_2 2x = \log_2 2 + \log_2 x = \log_2 x + 1$$

これらを $y$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} y &= (\log_2 x - 3)(\log_2 x + 1) \\ &= (\log_2 x)^2 - 2\log_2 x - 3 \end{aligned}$$

与えられた式 $y = (\log_2 x)^2 - [ア]\log_2 x - [イ]$ と係数を比較して、$[ア] = 2$、$[イ] = 3$ となる。

次に、$1 \leqq x \leqq 8$ における最大値と最小値を求める。

$t = \log_2 x$ とおく。対数の底 $2$ は $1$ より大きいから、$y = \log_2 x$ は単調増加関数である。したがって、$1 \leqq x \leqq 8$ のとき

$$\log_2 1 \leqq \log_2 x \leqq \log_2 8$$

$$0 \leqq t \leqq 3$$

となる。$y$ を $t$ の式で表し、平方完成すると

$$\begin{aligned} y &= t^2 - 2t - 3 \\ &= (t - 1)^2 - 4 \end{aligned}$$

$0 \leqq t \leqq 3$ における $y$ のグラフは、頂点が $(1, -4)$ で下に凸の放物線の一部となる。 放物線の軸 $t = 1$ は定義域 $0 \leqq t \leqq 3$ に含まれるため、$y$ は頂点で最小となる。また、最大値は軸から遠い方の端点である $t = 3$ でとる。

$t = 1$ のとき、最小値をとる。このときの $x$ の値は

$$\log_2 x = 1 \iff x = 2^1 = 2$$

最小値は

$$y = (1 - 1)^2 - 4 = -4$$

$t = 3$ のとき、最大値をとる。このときの $x$ の値は

$$\log_2 x = 3 \iff x = 2^3 = 8$$

最大値は

$$y = (3 - 1)^2 - 4 = 0$$

以上より、$x = 8$ で最大値 $0$ をとり、$x = 2$ で最小値 $-4$ をとる。

解説

対数関数を含む関数の最大値・最小値を求める典型的な問題である。真数部分が積や商で表されていることに着目し、対数の性質を用いて式を展開する。その後、$\log_2 x$ を一つの変数 $t$ に置き換えて2次関数の問題に帰着させる。変数を置き換えた際には、元の変数 $x$ の範囲から新しい変数 $t$ のとり得る値の範囲を正しく求めることが重要である。

答え

ア：$2$

イ：$3$

ウ：$8$

エ：$0$

オ：$2$

カ：$-4$