数学2 対数関数 問題 40 解説

方針・初手

まずは対数の真数条件を確認する。その後、対数の底の変換公式を用いて底を $3$ に統一する。 指数と対数が混在しているため、置換を用いて見慣れた代数方程式（2次方程式）に帰着させるか、対数の性質 $a^{\log_a M} = M$ を利用して $x$ の方程式に書き換えるのが有効である。

解法1

対数の真数条件より、$x > 0$ である。

方程式に含まれる対数の底を $3$ に揃える。底の変換公式より、

$$\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{1}{2} \log_3 x$$

となるので、与えられた方程式は次のように変形できる。

$$3^2 \cdot 3^{-\log_3 x} + 26 \cdot 3^{-\frac{1}{2} \log_3 x} - 3 = 0$$

$$9 \cdot (3^{-\frac{1}{2} \log_3 x})^2 + 26 \cdot 3^{-\frac{1}{2} \log_3 x} - 3 = 0$$

ここで、$X = 3^{-\frac{1}{2} \log_3 x}$ とおく。指数関数の値域より $X > 0$ である。

方程式は $X$ を用いて次のように表される。

$$9X^2 + 26X - 3 = 0$$

左辺を因数分解して、

$$(9X - 1)(X + 3) = 0$$

$X > 0$ であるから、

$$X = \frac{1}{9}$$

すなわち、

$$3^{-\frac{1}{2} \log_3 x} = 3^{-2}$$

となる。底が等しいので指数を比較して、

$$-\frac{1}{2} \log_3 x = -2$$

$$\log_3 x = 4$$

対数の定義より、

$$x = 3^4 = 81$$

これは真数条件 $x > 0$ を満たす。

解法2

対数の真数条件より、$x > 0$ である。

解法1と同様に、対数の底を $3$ に揃えることで、与式は以下のように変形できる。

$$9 \cdot 3^{-\log_3 x} + 26 \cdot 3^{-\frac{1}{2} \log_3 x} - 3 = 0$$

ここで、対数の性質 $a^{\log_a M} = M$ より $3^{\log_3 x} = x$ であるから、

$$3^{-\log_3 x} = (3^{\log_3 x})^{-1} = x^{-1}$$

$$3^{-\frac{1}{2} \log_3 x} = (3^{\log_3 x})^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{2}}$$

となる。これらを方程式に代入すると、

$$9x^{-1} + 26x^{-\frac{1}{2}} - 3 = 0$$

$t = x^{-\frac{1}{2}}$ とおく。真数条件 $x > 0$ より $t > 0$ である。

方程式は、

$$9t^2 + 26t - 3 = 0$$

$$(9t - 1)(t + 3) = 0$$

$t > 0$ より、

$$t = \frac{1}{9}$$

したがって、

$$x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{9}$$

両辺を $-2$ 乗して、

$$x = \left(\frac{1}{9}\right)^{-2} = 9^2 = 81$$

これは真数条件 $x > 0$ を満たす。

解説

指数と対数が混在した方程式における定石的な解法を問う問題である。 最初に対数の真数条件を確認し、底の変換公式を用いて底を統一するステップは必須となる。 そこからの処理としては、解法1のように指数関数全体を置換する方法と、解法2のように $a^{\log_a M} = M$ の性質を用いて $x$ の累乗の形に直す方法がある。どちらも頻出の変形であるため、柔軟に引き出せるようにしておきたい。

答え

$$x = 81$$