数学2 対数関数 問題 41 解説

方針・初手

対数不等式を解くための基本として、まずは真数条件を確認する。 真数条件の共通範囲を求めた後、底 $a$ が $0<a<1$ であることに注意して対数を外す。このとき不等号の向きが逆になる。 得られた二次不等式を解き、真数条件との共通範囲を求めることで (1) の答えとなる。 (2) では、(1) で求めた解の範囲の下限が $-1$ から $0$ の間にあることに着目し、範囲内に正の整数が $x=1$ のみとなるような上限の条件を立式する。

解法1

(1) 対数の真数条件から、

$$x+a > 0 \quad \text{かつ} \quad 2x+2 > 0$$

すなわち

$$x > -a \quad \text{かつ} \quad x > -1$$

$0<a<1$ であるから $-1 < -a < 0$ であり、これらを満たす共通範囲は

$$x > -a$$

となる。

次に、与えられた不等式 (A) を変形する。

$$2\log_a(x+a) > \log_a(2x+2)$$

$$\log_a(x+a)^2 > \log_a(2x+2)$$

底 $a$ は $0<a<1$ であるから、真数の大小関係は逆になり、

$$(x+a)^2 < 2x+2$$

展開して整理すると、

$$x^2 + 2ax + a^2 < 2x+2$$

$$x^2 + 2(a-1)x + a^2 - 2 < 0$$

方程式 $x^2 + 2(a-1)x + a^2 - 2 = 0$ の解は、解の公式より

$$x = -(a-1) \pm \sqrt{(a-1)^2 - (a^2 - 2)} = 1 - a \pm \sqrt{3 - 2a}$$

$0<a<1$ において $3-2a > 1 > 0$ であるから、実数解をもつ。 よって、二次不等式の解は

$$1 - a - \sqrt{3 - 2a} < x < 1 - a + \sqrt{3 - 2a}$$

ここで、真数条件との共通範囲を求めるために $1 - a - \sqrt{3 - 2a}$ と $-a$ の大小を比較する。

$$(1 - a - \sqrt{3 - 2a}) - (-a) = 1 - \sqrt{3 - 2a}$$

$0<a<1$ より $-2 < -2a < 0$ であるから $1 < 3 - 2a < 3$ ゆえに $1 < \sqrt{3 - 2a} < \sqrt{3}$ となり、

$$1 - \sqrt{3 - 2a} < 0$$

すなわち

$$1 - a - \sqrt{3 - 2a} < -a$$

したがって、不等式 (A) を満たす $x$ の範囲は

$$-a < x < 1 - a + \sqrt{3 - 2a}$$

(2) (1) の結果より、不等式を満たす $x$ の範囲は $-a < x < 1 - a + \sqrt{3 - 2a}$ である。 $0<a<1$ より $-1 < -a < 0$ であるから、この範囲に含まれる正の整数がただ1つ存在するとき、その整数は $x=1$ である。 したがって、上限 $1 - a + \sqrt{3 - 2a}$ が満たすべき条件は

$$1 < 1 - a + \sqrt{3 - 2a} \leqq 2$$

となる。

(i) $1 < 1 - a + \sqrt{3 - 2a}$ について

$$a < \sqrt{3 - 2a}$$

$a>0$ かつ $\sqrt{3 - 2a} > 0$ より、両辺を2乗して

$$a^2 < 3 - 2a$$

$$a^2 + 2a - 3 < 0$$

$$(a+3)(a-1) < 0$$

これより $-3 < a < 1$ となるが、$0<a<1$ の範囲で常に成り立つ。

(ii) $1 - a + \sqrt{3 - 2a} \leqq 2$ について

$$\sqrt{3 - 2a} \leqq a + 1$$

$0<a<1$ より $a+1 > 0$ であるから、両辺を2乗して同値に変形できる。

$$3 - 2a \leqq (a+1)^2$$

$$3 - 2a \leqq a^2 + 2a + 1$$

$$a^2 + 4a - 2 \geqq 0$$

方程式 $a^2 + 4a - 2 = 0$ の解は $a = -2 \pm \sqrt{6}$ であるから、不等式の解は

$$a \leqq -2 - \sqrt{6}, \quad -2 + \sqrt{6} \leqq a$$

ここで $0<a<1$ との共通範囲を考える。 $2 < \sqrt{6} < 3$ より $0 < -2 + \sqrt{6} < 1$ であるから、求める $a$ の範囲は

$$-2 + \sqrt{6} \leqq a < 1$$

解説

対数不等式を解く際の定石である「真数条件の確認」と「底の大きさによる不等号の向きの判定」を問う問題である。 (1) で解の範囲の下限が真数条件によって決まることを見落とさないように注意したい。境界の値の大小比較は差をとって正負を判定するのが確実である。 (2) は、数直線を描いて条件を視覚的に捉えると立式しやすい。正の整数が1つだけ含まれるためには、上限の値が1より大きく2以下であればよい。等号の有無に注意して無理不等式を解くことが重要である。

答え

(1) $-a < x < 1 - a + \sqrt{3 - 2a}$

(2) $-2 + \sqrt{6} \leqq a < 1$