数学2 対数関数 問題 42 解説

方針・初手

対数の性質 $\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$、$\log_a M - \log_a N = \log_a \frac{M}{N}$ を用いて真数をまとめるか、それぞれの真数を素因数分解して $\log_2 2$ と $\log_2 3$ の一次式の形に展開して計算する。

解法1

対数の性質を用いて、与式の真数を一つにまとめる。

$$\begin{aligned} \log_2 \sqrt{24} + \log_2 \sqrt{48} - \log_2 6 &= \log_2 \frac{\sqrt{24} \times \sqrt{48}}{6} \\ &= \log_2 \frac{\sqrt{24 \times 48}}{6} \end{aligned}$$

ここで、根号の中身について $48 = 24 \times 2$ であるから、

$$\sqrt{24 \times 48} = \sqrt{24 \times 24 \times 2} = 24\sqrt{2}$$

となる。これを代入して計算を進める。

$$\begin{aligned} \log_2 \frac{24\sqrt{2}}{6} &= \log_2 (4\sqrt{2}) \\ &= \log_2 (2^2 \times 2^{\frac{1}{2}}) \\ &= \log_2 \left( 2^{\frac{5}{2}} \right) \\ &= \frac{5}{2} \end{aligned}$$

解法2

真数をそれぞれ素因数分解し、対数の性質 $\log_a M^p = p \log_a M$、$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$ を用いて展開する。

各項は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} \log_2 \sqrt{24} &= \frac{1}{2} \log_2 (2^3 \times 3) = \frac{1}{2} (3 \log_2 2 + \log_2 3) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \log_2 3 \\ \log_2 \sqrt{48} &= \frac{1}{2} \log_2 (2^4 \times 3) = \frac{1}{2} (4 \log_2 2 + \log_2 3) = 2 + \frac{1}{2} \log_2 3 \\ \log_2 6 &= \log_2 (2 \times 3) = 1 + \log_2 3 \end{aligned}$$

これらを与式に代入する。

$$\begin{aligned} (\text{与式}) &= \left( \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \log_2 3 \right) + \left( 2 + \frac{1}{2} \log_2 3 \right) - (1 + \log_2 3) \\ &= \left( \frac{3}{2} + 2 - 1 \right) + \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 \right) \log_2 3 \\ &= \frac{5}{2} + 0 \cdot \log_2 3 \\ &= \frac{5}{2} \end{aligned}$$

解説

対数の基本的な演算規則の確認問題である。

解法1のように真数をまとめてから計算する方針と、解法2のように底の素因数分解を利用して細かくバラしてから整理する方針のどちらでも容易に解くことができる。

解法1では、$\sqrt{24} \times \sqrt{48}$ の計算において、単に掛け算を行って $\sqrt{1152}$ としてから平方根の簡単化を行うよりも、$48 = 24 \times 2$ に気づくことで計算量を減らし、ミスを防ぐことができる。

解法2では、無理数の指数表記や対数の性質を正確に適用し、同類項をまとめるように計算を行えばよい。

答え

$$\frac{5}{2}$$