数学2 対数関数 問題 43 解説

方針・初手

対数の積を含む計算問題である。対数の積はそのままでは計算できないため、底の変換公式を用いてすべての対数の底を統一し、約分によって式を整理する。計算を簡単にするため、あらかじめ真数を素因数分解して指数を前に出しておく。

解法1

底の変換公式を用いて、すべての対数の底を $2$ に統一する。それぞれの対数を変形すると以下のようになる。

$$\log_2 25 = \log_2 5^2 = 2 \log_2 5$$

$$\log_3 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 3} = \frac{\log_2 2^4}{\log_2 3} = \frac{4}{\log_2 3}$$

$$\log_5 27 = \frac{\log_2 27}{\log_2 5} = \frac{\log_2 3^3}{\log_2 5} = \frac{3 \log_2 3}{\log_2 5}$$

これらを与式に代入して計算する。

$$\begin{aligned} \log_2 25 \cdot \log_3 16 \cdot \log_5 27 &= 2 \log_2 5 \cdot \frac{4}{\log_2 3} \cdot \frac{3 \log_2 3}{\log_2 5} \\ &= (2 \cdot 4 \cdot 3) \cdot \frac{\log_2 5 \cdot \log_2 3}{\log_2 3 \cdot \log_2 5} \\ &= 24 \end{aligned}$$

解法2

真数を素因数分解して累乗の指数を前に出した後、底の変換公式を用いて、底を任意の正の数 $c$ （ただし $c \neq 1$ ）に統一する。

$$\log_2 25 = \log_2 5^2 = 2 \log_2 5 = \frac{2 \log_c 5}{\log_c 2}$$

$$\log_3 16 = \log_3 2^4 = 4 \log_3 2 = \frac{4 \log_c 2}{\log_c 3}$$

$$\log_5 27 = \log_5 3^3 = 3 \log_5 3 = \frac{3 \log_c 3}{\log_c 5}$$

これらを与式に代入して計算する。

$$\begin{aligned} \log_2 25 \cdot \log_3 16 \cdot \log_5 27 &= \frac{2 \log_c 5}{\log_c 2} \cdot \frac{4 \log_c 2}{\log_c 3} \cdot \frac{3 \log_c 3}{\log_c 5} \\ &= (2 \cdot 4 \cdot 3) \cdot \frac{\log_c 5 \cdot \log_c 2 \cdot \log_c 3}{\log_c 2 \cdot \log_c 3 \cdot \log_c 5} \\ &= 24 \end{aligned}$$

解説

対数の積を計算する際の典型的な処理である。底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いて底を一つに揃えることで、分子と分母の対数が約分できる形に持ち込むのが定石である。計算の順序としては、底の変換を行う前に真数を素因数分解し、$\log_a M^p = p \log_a M$ の性質を利用して指数を前に出しておくと、計算の全体像が見やすくなる。

答え

$24$