数学2 対数関数 問題 44 解説

方針・初手

与えられた指数の関係式を対数を用いて書き換え、基本となる $\log_5 2$ と $\log_5 3$ を $a, b$ で表す。その後、求める式の真数を素因数分解して $2, 3, 5$ の積や商で表し、対数の性質を用いて式を分解していく。

解法1

$5^a = 2$ の両辺を底を $5$ とする対数にとると、

$$\log_5 5^a = \log_5 2$$

すなわち、

$$a = \log_5 2$$

となる。同様に、$5^b = 3$ の両辺を底を $5$ とする対数にとると、

$$b = \log_5 3$$

となる。

求める $\log_5 72$ について、真数 $72$ を素因数分解すると $72 = 2^3 \cdot 3^2$ である。対数の性質を用いて変形すると、

$$\begin{aligned} \log_5 72 &= \log_5 (2^3 \cdot 3^2) \\ &= \log_5 2^3 + \log_5 3^2 \\ &= 3\log_5 2 + 2\log_5 3 \end{aligned}$$

となる。ここに $\log_5 2 = a$、$\log_5 3 = b$ を代入すると、

$$\log_5 72 = 3a + 2b$$

と表せる。

次に $\log_5 1.35$ について、真数 $1.35$ を分数に直すと $1.35 = \frac{135}{100} = \frac{27}{20}$ となる。分子分母を素因数分解して対数の性質を用いると、

$$\begin{aligned} \log_5 1.35 &= \log_5 \frac{27}{20} \\ &= \log_5 27 - \log_5 20 \\ &= \log_5 3^3 - \log_5 (2^2 \cdot 5) \\ &= 3\log_5 3 - (\log_5 2^2 + \log_5 5) \\ &= 3\log_5 3 - 2\log_5 2 - 1 \end{aligned}$$

となる。ここに $\log_5 2 = a$、$\log_5 3 = b$ を代入して整理すると、

$$\log_5 1.35 = -2a + 3b - 1$$

と表せる。

解説

指数の条件式を対数の条件式に変換し、真数を素因数分解して与えられた文字で表す、対数計算の典型問題である。

対数の性質 $\log_c MN = \log_c M + \log_c N$、$\log_c \frac{M}{N} = \log_c M - \log_c N$、$\log_c M^p = p\log_c M$ を正確に適用できれば迷うところはない。真数が小数で与えられた場合は、分数に直して約分し、分母分子をそれぞれ素因数分解することで見通しよく計算できる。また、底と同じ素因数（ここでは $5$）が現れた場合は $\log_5 5 = 1$ となることに注意する。

答え

$$\log_5 72 = 3a + 2b$$

$$\log_5 1.35 = -2a + 3b - 1$$