数学2 対数関数 問題 45 解説

方針・初手

与えられた条件が底 $10$ の対数であるため、求める対数もすべて底 $10$ で表すことを目指す。 真数を素因数分解し、対数の性質を用いて和や定数倍の形に分解していく。 底が $10$ でない場合は、底の変換公式を用いて底を $10$ にそろえる。

解法1

$\log_{10} 72$ について考える。 真数 $72$ を素因数分解すると $72 = 2^3 \cdot 3^2$ である。 対数の性質を用いて、次のように変形する。

$$\begin{aligned} \log_{10} 72 &= \log_{10} (2^3 \cdot 3^2) \\ &= \log_{10} 2^3 + \log_{10} 3^2 \\ &= 3\log_{10} 2 + 2\log_{10} 3 \end{aligned}$$

条件 $\log_{10} 2 = a$、$\log_{10} 3 = b$ を代入して、以下の結果を得る。

$$\log_{10} 72 = 3a + 2b$$

次に、$\log_{12} \sqrt[3]{96}$ について考える。 まず、真数の累乗根を指数の形に直し、対数の性質を用いて定数倍の形にする。

$$\log_{12} \sqrt[3]{96} = \log_{12} 96^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \log_{12} 96$$

底の変換公式を用いて、底を $10$ に変換する。

$$\frac{1}{3} \log_{12} 96 = \frac{1}{3} \cdot \frac{\log_{10} 96}{\log_{10} 12}$$

分母と分子の真数をそれぞれ素因数分解する。 $96 = 2^5 \cdot 3$、$12 = 2^2 \cdot 3$ であるから、対数の性質を用いて展開する。

$$\log_{10} 96 = \log_{10} (2^5 \cdot 3) = 5\log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 5a + b$$

$$\log_{10} 12 = \log_{10} (2^2 \cdot 3) = 2\log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 2a + b$$

これらを先ほどの式に代入して整理する。

$$\log_{12} \sqrt[3]{96} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5a + b}{2a + b} = \frac{5a + b}{3(2a + b)}$$

解説

対数の基本的な計算力を問う問題である。 積を和に分解する性質 $\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$ や、累乗を前に出す性質 $\log_a M^p = p \log_a M$ を用いて、与えられた $a, b$ の形に帰着させる。 底が異なる場合は、底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いて、条件として与えられている底（本問では $10$）に統一することが定石である。 計算ミスを防ぐためにも、真数の素因数分解は丁寧に行いたい。

答え

$\log_{10} 72 = 3a + 2b$

$\log_{12} \sqrt[3]{96} = \frac{5a + b}{3(2a + b)}$