数学2 対数関数 問題 46 解説

方針・初手

対数方程式・不等式を解く際の基本である「真数条件」を最初に確認する。その後、対数の性質を用いて左辺を一つの対数にまとめ、底の大きさに注意して真数の不等式に帰着させる。

解法1

対数の真数は正であるから、

$$x-1 > 0 \quad \text{かつ} \quad x+2 > 0$$

これを解いて、

$$x > 1 \quad \cdots \text{(1)}$$

与えられた不等式を変形すると、

$$\log_{3}(x-1)(x+2) \leqq 2$$

$$\log_{3}(x^2+x-2) \leqq \log_{3} 3^2$$

底 $3$ は $1$ より大きいから、真数の大小関係は変わらず、

$$x^2+x-2 \leqq 9$$

$$x^2+x-11 \leqq 0$$

2次方程式 $x^2+x-11=0$ の解は $x = \frac{-1 \pm 3\sqrt{5}}{2}$ であるから、この2次不等式の解は、

$$\frac{-1 - 3\sqrt{5}}{2} \leqq x \leqq \frac{-1 + 3\sqrt{5}}{2} \quad \cdots \text{(2)}$$

(1) と (2) の共通範囲を求める。ここで、$6 = \sqrt{36} < \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ より、$-1 + 3\sqrt{5} > 5$ であるから、$\frac{-1+3\sqrt{5}}{2} > \frac{5}{2} > 1$ となる。

したがって、求める $x$ の値の範囲は、

$$1 < x \leqq \frac{-1 + 3\sqrt{5}}{2}$$

解説

対数の問題では、何よりもまず「真数 $> 0$」の条件を立式することが最重要である。不等式を解く過程で現れる範囲と、真数条件との共通範囲を最後にとることを忘れないようにする。

また、対数の不等式から真数の不等式へ移行する際、底が $1$ より大きい場合は不等号の向きがそのまま維持され、$0 < \text{底} < 1$ の場合は不等号の向きが逆になる。本問では底が $3$ であるため、不等号の向きはそのままである。

答え

$1 < x \leqq \frac{-1 + 3\sqrt{5}}{2}$