数学2 対数関数 問題 47 解説

方針・初手

対数不等式を解く基本は、真数条件を最初に確認することである。本問では、2つの対数が入れ子になっているため、内側の対数の真数だけでなく、外側の対数の真数全体も正である必要がある。これらをまとめて処理するために、対数の定義と底の大きさに注意しながら、不等式を徐々に内側の真数についての不等式へと変形していくとよい。

解法1

まず、対数の真数は正であるから、内側の対数について

$$x - 1 > 0 \quad \text{かつ} \quad x + 7 > 0$$

すなわち

$$x > 1 \quad \cdots \text{①}$$

が必要である。

次に、与えられた不等式を変形する。

$$\log_2 \{ \log_3(x-1) + \log_3(x+7) \} < 1$$

外側の対数の底は $2$ であり $1$ より大きいため、真数条件を含めて次のように変形できる。

$$0 < \log_3(x-1) + \log_3(x+7) < 2$$

条件①のもとで、対数の性質を用いて和を積に直すと

$$0 < \log_3 (x-1)(x+7) < 2$$

$$\log_3 1 < \log_3 (x^2 + 6x - 7) < \log_3 3^2$$

底は $3$ であり $1$ より大きいため、真数の大小関係は変わらず

$$1 < x^2 + 6x - 7 < 9$$

となる。これは以下の連立不等式である。

$$\begin{cases} x^2 + 6x - 8 > 0 & \cdots \text{②} \\ x^2 + 6x - 16 < 0 & \cdots \text{③} \end{cases}$$

不等式②を解く。$x^2 + 6x - 8 = 0$ の解は解の公式より $x = -3 \pm \sqrt{3^2 - (-8)} = -3 \pm \sqrt{17}$ であるから、不等式②の解は

$$x < -3 - \sqrt{17}, \quad -3 + \sqrt{17} < x \quad \cdots \text{④}$$

不等式③を解く。因数分解をして

$$(x+8)(x-2) < 0$$

よって、不等式③の解は

$$-8 < x < 2 \quad \cdots \text{⑤}$$

求める $x$ の値の範囲は、①、④、⑤の共通範囲である。 ここで、$\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$ すなわち $4 < \sqrt{17} < 5$ より、$1 < -3 + \sqrt{17} < 2$ であることに注意して共通範囲を求めると

$$-3 + \sqrt{17} < x < 2$$

となる。

解説

対数不等式において最も忘れやすいのが「真数条件」である。入れ子になった対数 $\log_a (\log_b X)$ がある場合、$X > 0$ だけでなく $\log_b X > 0$ も満たさなければならない。本解法のように $0 < \log_b X < C$ と立式することで、真数条件の漏れを防ぎ、かつ計算量を減らすことができる。また、最終的な共通範囲を求める際に、無理数 $\sqrt{17}$ の評価を行い、他の境界値との大小関係を正確に把握することも重要である。

答え

$-3 + \sqrt{17} < x < 2$