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数学2 対数関数問題 48 解説

方針・初手

与えられた対数関数を対数の性質を用いて変形し、$y - q = \log_2 (x - p)$ の形を作ることで平行移動量を読み取る。共有点の $x$ 座標は、2つの関数の式を連立させてできる対数方程式を解いて求める。その際、真数条件を忘れないよう注意する。

解法1

与えられた関数は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} y &= \log_2 \left( \frac{x}{2} + 3 \right) \\ &= \log_2 \frac{x + 6}{2} \\ &= \log_2 (x + 6) - \log_2 2 \\ &= \log_2 (x + 6) - 1 \end{aligned}$$

これを変形すると以下のようになる。

$$y - (-1) = \log_2 \{ x - (-6) \}$$

したがって、関数 $y = \log_2 \left( \frac{x}{2} + 3 \right)$ のグラフは、関数 $y = \log_2 x$ のグラフを $x$ 軸方向に $-6$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したものである。

次に、これら2つのグラフの共有点の $x$ 座標を求める。 2つの式を連立させて $y$ を消去すると、以下の方程式を得る。

$$\log_2 \left( \frac{x}{2} + 3 \right) = \log_2 x$$

対数の真数は正であるから、真数条件は $\frac{x}{2} + 3 > 0$ かつ $x > 0$ であり、これを満たす範囲は $x > 0$ である。

この条件のもとで方程式を解く。底が等しいので真数同士が等しくなる。

$$\frac{x}{2} + 3 = x$$

両辺を2倍して整理する。

$$x + 6 = 2x$$

$$x = 6$$

これは真数条件 $x > 0$ を満たす。よって、共有点の $x$ 座標は $6$ である。

解説

対数関数 $y = \log_a (px + q)$ のグラフの平行移動量を考える際の基本問題である。真数部分の $x$ の係数をくくり出し、$y = \log_a p \left( x + \frac{q}{p} \right) = \log_a \left( x + \frac{q}{p} \right) + \log_a p$ と変形することで、$x$ 軸方向、$y$ 軸方向それぞれの平行移動量を正しく読み取ることができる。また、対数方程式を解く際は、方程式を解く前に与えられた式の真数条件（真数 $> 0$）を必ず確認し、得られた解がその条件を満たすか吟味することが重要である。