数学2 対数関数 問題 49 解説

方針・初手

対数の基本的な計算規則に従って処理する問題である。 対数を含む方程式や不等式を解く際は、式を変形する前に必ず「真数 $> 0$」という真数条件を確認し、解の範囲を絞り込んでおくことが最優先となる。その後、対数の性質を用いて項をまとめ、対数の定義に従って真数についての代数方程式・不等式へと帰着させる。

解法1

[オ] について

対数の性質より、次のように計算できる。

$$ \log_3 9 - \log_2 8 = \log_3 3^2 - \log_2 2^3 $$

$$ = 2 - 3 $$

$$ = -1 $$

[カ] について

与えられた方程式は以下の通りである。

$$ \log_3(x-2) + \log_3(2x-7) = 2 $$

対数の真数は正であるから、真数条件は以下のようになる。

$$ x - 2 > 0 \quad \text{かつ} \quad 2x - 7 > 0 $$

これを解くと、$x > 2$ かつ $x > \frac{7}{2}$ となり、共通範囲は以下のようになる。

$$ x > \frac{7}{2} $$

この条件のもとで、方程式の左辺をまとめる。

$$ \log_3 (x-2)(2x-7) = 2 $$

対数の定義より、次のように変形できる。

$$ (x-2)(2x-7) = 3^2 $$

$$ 2x^2 - 11x + 14 = 9 $$

$$ 2x^2 - 11x + 5 = 0 $$

左辺を因数分解する。

$$ (2x-1)(x-5) = 0 $$

よって、$x = \frac{1}{2}, 5$ となる。 ここで、真数条件 $x > \frac{7}{2}$ を満たすものを探すと、$x = 5$ のみが適する。

[キ] について

与えられた不等式は以下の通りである。

$$ \log_2(x+1) + \log_2(x-2) < 2 $$

真数条件より、以下の不等式が成り立つ。

$$ x + 1 > 0 \quad \text{かつ} \quad x - 2 > 0 $$

これを解くと、$x > -1$ かつ $x > 2$ となり、共通範囲は以下のようになる。

$$ x > 2 $$

この条件のもとで、不等式を変形していく。右辺の $2$ を $\log_2 2^2$ とみる。

$$ \log_2 (x+1)(x-2) < \log_2 4 $$

底の $2$ は $1$ より大きいので、真数の大小関係もそのまま保たれる。

$$ (x+1)(x-2) < 4 $$

$$ x^2 - x - 2 < 4 $$

$$ x^2 - x - 6 < 0 $$

左辺を因数分解する。

$$ (x+2)(x-3) < 0 $$

この不等式の解は以下の通りである。

$$ -2 < x < 3 $$

最後に、真数条件 $x > 2$ との共通範囲を求める。

$$ 2 < x < 3 $$

解説

対数の基本計算と、対数方程式・不等式の解法を問う標準的な問題である。

対数の方程式や不等式を解く上で最も重要なのは「真数条件の確認」である。真数条件を忘れて計算を進めてしまうと、[カ] のように条件を満たさない無縁解（本問では $x = \frac{1}{2}$）を含んだまま答えてしまうミスに繋がるため、必ず一番最初に立式する癖をつけたい。

また、対数不等式において対数を外して真数同士を比較する際、底が $1$ より大きいか小さいかによって不等号の向きが変わる点にも注意が必要である。本問 [キ] では底が $2$ であり $1$ より大きいため、単調増加関数となり不等号の向きは変わらない。

答え

[オ] $-1$

[カ] $5$

[キ] $2 < x < 3$