数学2 対数関数 問題 50 解説

方針・初手

対数を含む連立方程式である。まず真数条件を確認する。その後、2つ目の式 $x^2y = 2$ の両辺について底が $2$ の対数をとり、$\log_2 x$ と $\log_2 y$ に関する連立方程式に帰着させる。

解法1

対数の真数条件より、

$$x > 0, \quad y > 0$$

である。

与えられた連立方程式は以下の通りである。

$$\begin{cases} 4(\log_2 x)^2 + 2\log_2 y = 1 & \cdots \text{①} \\ x^2 y = 2 & \cdots \text{②} \end{cases}$$

式②の両辺について、底を $2$ とする対数をとると、

$$\log_2 (x^2 y) = \log_2 2$$

対数の性質を用いて変形すると、

$$2\log_2 x + \log_2 y = 1 \quad \cdots \text{②}'$$

となる。ここで、$X = \log_2 x$、$Y = \log_2 y$ とおく。式①、式②' は次のように書き換えられる。

$$\begin{cases} 4X^2 + 2Y = 1 & \cdots \text{③} \\ 2X + Y = 1 & \cdots \text{④} \end{cases}$$

式④より、

$$Y = -2X + 1$$

これを式③に代入する。

$$4X^2 + 2(-2X + 1) = 1$$

展開して整理すると、

$$4X^2 - 4X + 1 = 0$$

$$(2X - 1)^2 = 0$$

したがって、

$$X = \frac{1}{2}$$

このとき、

$$Y = -2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 0$$

となる。$X = \log_2 x$、$Y = \log_2 y$ より、

$$\log_2 x = \frac{1}{2}, \quad \log_2 y = 0$$

よって、

$$x = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}, \quad y = 2^0 = 1$$

これらは真数条件 $x > 0, y > 0$ を満たしている。

解説

対数を含む方程式を解く際の基本である「真数条件の確認」を最初に行うことが重要である。また、対数を含まない式（本問では $x^2y = 2$）に対しては、他の式に合わせて対数をとることで、扱いやすい連立方程式に変換できる。文字の置き換えを行うと計算の見通しが良くなる。

答え

$x = \sqrt{2}$

$y = 1$