数学2 対数関数 問題 51 解説

方針・初手

対数の積を計算する問題である。 対数の底が揃っていないため、底の変換公式を用いて底を統一する。 また、真数である $8$ と $27$ をそれぞれ素因数分解して、累乗の形に直すことから始める。

解法1

与えられた式を変形する。真数部分を累乗の形にすると、以下のようになる。

$$\log_3 8 \cdot \log_2 27 = \log_3 2^3 \cdot \log_2 3^3$$

対数の性質 $\log_a M^k = k \log_a M$ を用いて、真数の指数を対数の前に出す。

$$\log_3 2^3 \cdot \log_2 3^3 = (3 \log_3 2) \cdot (3 \log_2 3) = 9 \log_3 2 \cdot \log_2 3$$

底の変換公式を用いて、$\log_3 2$ の底を $2$ に変換する。

$$\log_3 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 3} = \frac{1}{\log_2 3}$$

これを先ほどの式に代入して計算する。

$$9 \cdot \frac{1}{\log_2 3} \cdot \log_2 3 = 9$$

解法2

任意の底 $c$ （ただし $c>0, c \neq 1$）に対する底の変換公式を用いて、式全体を同じ底の対数で表す。

$$\log_3 8 \cdot \log_2 27 = \frac{\log_c 8}{\log_c 3} \cdot \frac{\log_c 27}{\log_c 2}$$

真数を累乗の形にし、指数を対数の前に出す。

$$\frac{\log_c 2^3}{\log_c 3} \cdot \frac{\log_c 3^3}{\log_c 2} = \frac{3 \log_c 2}{\log_c 3} \cdot \frac{3 \log_c 3}{\log_c 2}$$

分母と分子にある $\log_c 2$ と $\log_c 3$ をそれぞれ約分する。

$$3 \cdot 3 = 9$$

解説

対数の積を含む計算問題の基本である。 対数の計算において底が異なる場合は、底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いて底を統一することが定石である。 また、底の変換公式から導かれる $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ や $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ という関係式に習熟していれば、より素早く結論を導くことができる。

答え

9