数学2 対数関数 問題 52 解説

方針・初手

対数方程式を解く際の鉄則である、底の条件と真数条件をまず確認する。その後、対数の定義に従って方程式を整式の形に直し、高次方程式を解く。最後に、得られた解が最初の条件を満たすかどうかの吟味を確実に行う。

解法1

まず、対数が定義されるための条件を求める。

底の条件より、$x - 1 > 0$ かつ $x - 1 \neq 1$ であるから、

$$x > 1 \text{ かつ } x \neq 2$$

真数条件より、

$$x^3 - 3x^2 - x + 3 > 0$$

左辺を因数分解すると、

$$x^2(x - 3) - (x - 3) > 0$$

$$(x^2 - 1)(x - 3) > 0$$

$$(x - 1)(x + 1)(x - 3) > 0$$

底の条件より $x > 1$ であるから、$x - 1 > 0$ かつ $x + 1 > 0$ は常に成り立つ。したがって、この不等式が成り立つための条件は、

$$x - 3 > 0$$

すなわち、$x > 3$ である。これは底の条件を満たしている。以上より、求める条件は $x > 3$ となる。

次に、与えられた方程式を解く。対数の定義より、

$$x^3 - 3x^2 - x + 3 = (x - 1)^2$$

右辺を展開して整理すると、

$$x^3 - 3x^2 - x + 3 = x^2 - 2x + 1$$

$$x^3 - 4x^2 + x + 2 = 0$$

左辺に $x = 1$ を代入すると $0$ になるため、因数定理より左辺は $x - 1$ を因数にもつ。因数分解すると、

$$(x - 1)(x^2 - 3x - 2) = 0$$

ここで、条件 $x > 3$ より $x - 1 \neq 0$ であるから、

$$x^2 - 3x - 2 = 0$$

これを解の公式を用いて解くと、

$$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$$

得られた解が条件 $x > 3$ を満たすか確認する。$4 < \sqrt{17} < 5$ であるから、

$$\frac{3 + 4}{2} < \frac{3 + \sqrt{17}}{2} < \frac{3 + 5}{2}$$

より $\frac{7}{2} < \frac{3 + \sqrt{17}}{2} < 4$ となり、$x > 3$ を満たす。

一方、

$$\frac{3 - 5}{2} < \frac{3 - \sqrt{17}}{2} < \frac{3 - 4}{2}$$

より $-1 < \frac{3 - \sqrt{17}}{2} < -\frac{1}{2}$ となり、$x > 3$ を満たさない。

したがって、適する解は $x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ のみである。

解説

対数方程式・不等式における「真数条件・底の条件の確認」の重要性を問う標準的な問題である。3次不等式となる真数条件は、底の条件と組み合わせることで簡単に処理できる。最後に得られた無理数の解が条件を満たすかどうかの評価（平方根の近似値の利用）で手間取らないようにしたい。

答え

$\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$