数学2 対数関数 問題 53 解説

方針・初手

与えられた $x$ の値を3次式に直接代入しても計算は可能であるが、煩雑になるため計算ミスの原因となる。

$x = 3 + \sqrt{2}$ を変形して根号を分離し、両辺を2乗することで $x$ の2次方程式を作成する。

この2次式を用いて与えられた3次式を割ることで、次数下げを行い、計算を大幅に簡略化するのが定石である。

解法1

$x = 3 + \sqrt{2}$ より、

$$x - 3 = \sqrt{2}$$

両辺を2乗して、

$$(x - 3)^2 = 2$$

$$x^2 - 6x + 9 = 2$$

すなわち、

$$x^2 - 6x + 7 = 0$$

が成り立つ。

ここで、与えられた対数の真数部分を $P(x) = 2x^3 - 11x^2 + 9x + 4$ とおく。

$P(x)$ を $x^2 - 6x + 7$ で割ると、商が $2x + 1$、余りが $x - 3$ となる。

これを等式で表すと、

$$2x^3 - 11x^2 + 9x + 4 = (x^2 - 6x + 7)(2x + 1) + x - 3$$

となる。

$x = 3 + \sqrt{2}$ のとき、$x^2 - 6x + 7 = 0$ であるから、

$$P(3 + \sqrt{2}) = 0 \cdot (2x + 1) + (3 + \sqrt{2}) - 3 = \sqrt{2}$$

となる。

したがって、求める値は、

$$\log_4 \sqrt{2} = \log_{2^2} 2^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{2} \log_2 2 = \frac{1}{4}$$

である。

解法2

$x$ の値をそのまま代入して計算することもできる。

$$x^2 = (3 + \sqrt{2})^2 = 9 + 6\sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2}$$

$$x^3 = x \cdot x^2 = (3 + \sqrt{2})(11 + 6\sqrt{2}) = 33 + 18\sqrt{2} + 11\sqrt{2} + 12 = 45 + 29\sqrt{2}$$

これらを真数部分に代入すると、

$$2x^3 - 11x^2 + 9x + 4 = 2(45 + 29\sqrt{2}) - 11(11 + 6\sqrt{2}) + 9(3 + \sqrt{2}) + 4$$

$$= 90 + 58\sqrt{2} - 121 - 66\sqrt{2} + 27 + 9\sqrt{2} + 4$$

$$= (90 - 121 + 27 + 4) + (58 - 66 + 9)\sqrt{2}$$

$$= \sqrt{2}$$

となる。

よって、底の変換公式を用いて計算すると、

$$\log_4 \sqrt{2} = \frac{\log_2 \sqrt{2}}{\log_2 4} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$$

となる。

解説

「無理数を含む式の値」を求める際の典型的な問題である。直接代入する解法2でも解けるが、計算が複雑になりミスを誘発しやすい。

解法1のように、「無理数部分を孤立させて2乗し、 $=0$ となる2次式を作る」「その2次式で目的の多項式を割る」という「次数下げ」の手法を用いることで、計算量を劇的に減らすことができる。

また、最後に対数の計算が必要になるが、底と真数を同じ素数（この場合は $2$）を底とする形に揃えるか、底の変換公式を用いることで容易に求まる。

答え

$\frac{1}{4}$