数学2 対数関数 問題 54 解説

方針・初手

対数の大小関係を比較する問題である。対数の底がすべて $5$ に統一されているため、「対数の前の係数を真数の指数に移動させ、真数同士の大小を比較する」のが基本方針となる。ただし、分数の指数がそのままでは比較しづらいため、各数を何倍かして整数乗の形に持ち込むと計算が見通しやすくなる。

(2) については、式の一部に変形できる箇所（$\log_{5}9$）があるため、まずはそれを変形し、共通する因数を見つけ出してそれ以外の部分の大小比較に帰着させる。

解法1

(1)

比較する2つの数をそれぞれ15倍する。

$$15 \times \frac{1}{3}\log_{5}2 = 5\log_{5}2 = \log_{5}2^5 = \log_{5}32$$

$$15 \times \frac{1}{5}\log_{5}3 = 3\log_{5}3 = \log_{5}3^3 = \log_{5}27$$

対数の底 $5$ は $1$ より大きく、$32 > 27$ であるから、以下の不等式が成り立つ。

$$\log_{5}32 > \log_{5}27$$

すなわち、

$$15 \times \frac{1}{3}\log_{5}2 > 15 \times \frac{1}{5}\log_{5}3$$

両辺を15で割ることで、求める大小関係が得られる。

$$\frac{1}{3}\log_{5}2 > \frac{1}{5}\log_{5}3$$

(2)

右側の式について、真数を変形して整理する。

$$\begin{aligned} \frac{\log_{5}2 \times \log_{5}9}{4} &= \frac{\log_{5}2 \times \log_{5}3^2}{4} \\ &= \frac{\log_{5}2 \times 2\log_{5}3}{4} \\ &= \frac{1}{2}\log_{5}2 \times \log_{5}3 \end{aligned}$$

これにより、比較すべき2つの数は $\frac{1}{5}\log_{5}3$ と $\frac{1}{2}\log_{5}2 \times \log_{5}3$ となる。 両者には $\log_{5}3$ が共通して掛けられている。底 $5 > 1$ かつ真数 $3 > 1$ であるため、$\log_{5}3 > 0$ である。 したがって、残りの係数部分である $\frac{1}{5}$ と $\frac{1}{2}\log_{5}2$ の大小を比較すればよい。

この2つの数をそれぞれ10倍する。

$$10 \times \frac{1}{5} = 2 = 2\log_{5}5 = \log_{5}5^2 = \log_{5}25$$

$$10 \times \frac{1}{2}\log_{5}2 = 5\log_{5}2 = \log_{5}2^5 = \log_{5}32$$

対数の底 $5$ は $1$ より大きく、$25 < 32$ であるから、以下の不等式が成り立つ。

$$\log_{5}25 < \log_{5}32$$

すなわち、

$$10 \times \frac{1}{5} < 10 \times \frac{1}{2}\log_{5}2$$

両辺を10で割る。

$$\frac{1}{5} < \frac{1}{2}\log_{5}2$$

両辺に正の数である $\log_{5}3$ を掛けても不等号の向きは変わらない。

$$\frac{1}{5}\log_{5}3 < \frac{1}{2}\log_{5}2 \times \log_{5}3$$

もとの形に戻して、求める大小関係が得られる。

$$\frac{1}{5}\log_{5}3 < \frac{\log_{5}2 \times \log_{5}9}{4}$$

解説

対数の大小比較における基本手技を問う問題である。分数の係数がついた対数を比較する際、そのまま真数の累乗根（$\sqrt[3]{2}$ など）として比較することも可能だが、式全体を公倍数倍して整数の指数に直す方が圧倒的に計算ミスが少なくなる。

また、(2) のように積の形で与えられている場合は、素因数分解のように真数を細かく分け、共通因数を見つけ出すことで比較対象をシンプルにすることが重要である。不等式の両辺を文字式で割ったり掛けたりする際は、その符号が正であることを明記する必要がある（今回は $\log_{5}3 > 0$）。

答え

(1) $\frac{1}{3}\log_{5}2 > \frac{1}{5}\log_{5}3$

(2) $\frac{1}{5}\log_{5}3 < \frac{\log_{5}2 \times \log_{5}9}{4}$