数学2 対数関数 問題 56 解説

方針・初手

対数の性質を用いて、与えられた等式から真数同士の関係式を導出する。得られた $a$ と $b$ の関係式は2次の同次式となるため、両辺を $b^2$ で割ることで求めるべき $\frac{a}{b}$ についての2次方程式に帰着させる。

解法1

$a>b>0$ より、$a>0$、$b>0$、$a+2b>0$ であるから、対数の真数条件は満たされている。

与えられた等式を変形する。

$$2\log_{10}(a+2b) = \log_{10}a + \log_{10}b + 1$$

$$\log_{10}(a+2b)^2 = \log_{10}(10ab)$$

真数同士を比較して

$$(a+2b)^2 = 10ab$$

展開して整理する。

$$a^2 + 4ab + 4b^2 = 10ab$$

$$a^2 - 6ab + 4b^2 = 0$$

$a>b>0$ より $b \neq 0$ であるから、両辺を $b^2$ で割る。

$$\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 6\left(\frac{a}{b}\right) + 4 = 0$$

$\frac{a}{b} = t$ とおくと、方程式は以下のようになる。

$$t^2 - 6t + 4 = 0$$

解の公式より

$$t = 3 \pm \sqrt{5}$$

ここで、$a > b > 0$ より $\frac{a}{b} > 1$、すなわち $t > 1$ である。 $2 < \sqrt{5} < 3$ より $0 < 3 - \sqrt{5} < 1$ であるから、$t = 3 - \sqrt{5}$ は不適である。 よって、$t = 3 + \sqrt{5}$ と定まり、最初の値が得られる。

$$\frac{a}{b} = 3 + \sqrt{5}$$

次に、$\frac{a^2}{a^2+2b^2}$ の値を求める。分母分子を $b^2$ で割る。

$$\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^2}{\left(\frac{a}{b}\right)^2 + 2} = \frac{t^2}{t^2 + 2}$$

$t^2 - 6t + 4 = 0$ より $t^2 = 6t - 4$ であることを用いて次数を下げる。

$$\frac{6t-4}{(6t-4) + 2} = \frac{6t-4}{6t-2} = \frac{3t-2}{3t-1}$$

これに $t = 3 + \sqrt{5}$ を代入する。

$$\begin{aligned} \frac{3(3+\sqrt{5})-2}{3(3+\sqrt{5})-1} &= \frac{7+3\sqrt{5}}{8+3\sqrt{5}} \\ &= \frac{(7+3\sqrt{5})(8-3\sqrt{5})}{(8+3\sqrt{5})(8-3\sqrt{5})} \\ &= \frac{56 - 21\sqrt{5} + 24\sqrt{5} - 45}{64 - 45} \\ &= \frac{11+3\sqrt{5}}{19} \end{aligned}$$

解説

対数方程式から同次式を導き、比の値を求める標準的な問題である。式が $a$ と $b$ の2次の同次式であることに気づけば、両辺を $b^2$ で割ることで $\frac{a}{b}$ についての方程式に持ち込める。二次方程式の解を求めた後、条件 $a>b>0$ から $\frac{a}{b}>1$ を見抜き、解を正しく絞り込めるかがポイントである。また、後半の式の値を計算する際、求めた二次方程式を用いて次数下げを行うと計算ミスを減らすことができる。

答え

$\frac{a}{b} = 3 + \sqrt{5}$

$\frac{a^2}{a^2+2b^2} = \frac{11+3\sqrt{5}}{19}$