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数学2 対数関数問題 57 解説

方針・初手

対数の和と積から、解と係数の関係を用いて3次方程式を作成する。与えられた2つ目の条件式は、底の変換公式を用いて積の和の形に変形する。後半は求めた3次方程式を解き、得られた解を条件 $a \leqq b \leqq c$ と照らし合わせて不適なものを除外する。

解法1

(1)

任意の底（例えば $e$）を用いた底の変換公式より、

$$\log_a b \cdot \log_b c = \frac{\log_e b}{\log_e a} \cdot \frac{\log_e c}{\log_e b} = \frac{\log_e c}{\log_e a} = \log_a c$$

が成り立つ。同様に、

$$\log_b c \cdot \log_c a = \log_b a$$

$$\log_c a \cdot \log_a b = \log_c b$$

である。したがって、与えられた2つ目の条件式は次のように変形できる。

$$\log_a b \log_b c + \log_b c \log_c a + \log_c a \log_a b = 5$$

また、底の変換公式より3つの対数の積は、

$$\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = \frac{\log_e b}{\log_e a} \cdot \frac{\log_e c}{\log_e b} \cdot \frac{\log_e a}{\log_e c} = 1$$

となる。これらと、与えられた1つ目の条件式

$$\log_a b + \log_b c + \log_c a = \frac{17}{4}$$

より、$\log_a b, \log_b c, \log_c a$ は、解と係数の関係から次の $x$ の3次方程式の解となる。

$$x^3 - \frac{17}{4}x^2 + 5x - 1 = 0$$

両辺に $4$ を掛けて、求める方程式は

$$4x^3 - 17x^2 + 20x - 4 = 0$$

である。

(2)

(1) で求めた方程式を解く。 $P(x) = 4x^3 - 17x^2 + 20x - 4$ とおくと、$P(2) = 32 - 68 + 40 - 4 = 0$ であるから、因数定理より $P(x)$ は $x - 2$ を因数にもつ。

$$4x^3 - 17x^2 + 20x - 4 = (x - 2)(4x^2 - 9x + 2) = (x - 2)^2(4x - 1)$$

$P(x) = 0$ を解いて、$x = 2, \frac{1}{4}$ を得る。したがって、$\{\log_a b, \log_b c, \log_c a\}$ の組み合わせは $\{2, 2, \frac{1}{4}\}$ である。以下の3つの場合について考える。

(i) $\log_a b = 2, \log_b c = 2, \log_c a = \frac{1}{4}$ のとき

対数の定義より、$b = a^2$、$c = b^2 = a^4$ である。条件 $a \leqq b \leqq c$ より、$a \leqq a^2 \leqq a^4$ が成り立つ。 $a > 0$ であるから、この不等式を満たすのは $a \geqq 1$ のときである。$a \neq 1$ より $a > 1$ となる。また、条件 $abc = 216\sqrt{6}$ に代入すると、

$$a \cdot a^2 \cdot a^4 = 216\sqrt{6}$$

$$a^7 = 6^3 \cdot 6^{\frac{1}{2}} = 6^{\frac{7}{2}} = (\sqrt{6})^7$$

$a > 0$ より $a = \sqrt{6}$ となる。これは $a > 1$ を満たす。このとき、$b = (\sqrt{6})^2 = 6$、$c = (\sqrt{6})^4 = 36$ となり、$a \leqq b \leqq c$ を満たす。

(ii) $\log_a b = 2, \log_b c = \frac{1}{4}, \log_c a = 2$ のとき

対数の定義より、$b = a^2$、$c = b^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{2}}$ である。条件 $a \leqq b \leqq c$ より、$a \leqq a^2 \leqq a^{\frac{1}{2}}$ が成り立つ。 $a \leqq a^2$ かつ $a > 0$ より $a \geqq 1$（$a \neq 1$ より $a > 1$）。一方、$a^2 \leqq a^{\frac{1}{2}}$ かつ $a > 0$ より $a^{\frac{3}{2}} \leqq 1$ すなわち $a \leqq 1$。これらを同時に満たす $a$ は存在しないため、不適である。

(iii) $\log_a b = \frac{1}{4}, \log_b c = 2, \log_c a = 2$ のとき

対数の定義より、$b = a^{\frac{1}{4}}$、$c = b^2 = a^{\frac{1}{2}}$ である。条件 $a \leqq b \leqq c$ より、$a \leqq a^{\frac{1}{4}} \leqq a^{\frac{1}{2}}$ が成り立つ。 $a \leqq a^{\frac{1}{4}}$ かつ $a > 0$ より $a^{\frac{3}{4}} \leqq 1$ すなわち $0 < a \leqq 1$（$a \neq 1$ より $0 < a < 1$）。一方、$a^{\frac{1}{4}} \leqq a^{\frac{1}{2}}$ かつ $a > 0$ より $1 \leqq a^{\frac{1}{4}}$ すなわち $a \geqq 1$。これらを同時に満たす $a$ は存在しないため、不適である。

以上より、求める値は $a = \sqrt{6}, b = 6, c = 36$ である。

解説

対数の性質と解と係数の関係を組み合わせた典型問題である。底の変換公式を用いて条件式を基本対称式（和、2つの積の和、積）の形に書き換えることで、見通しよく3次方程式を作ることができる。(2)での大小比較では、底が $1$ より大きいか小さいかによる条件の吟味が必要になるが、代数的に不等式を解くことで矛盾を導くことができる。