数学2 対数関数 問題 58 解説

方針・初手

対数方程式を解くにあたり、まずは真数条件を確認する。その後、対数の性質を用いて式を展開し、$t = \log_{\frac{1}{10}} x$ とおくことで、$t$ についての2次方程式に帰着させる。さらに、「$x$ が $\sqrt{10}$ より大きい」という条件を $t$ の変域の条件に変換し、2次方程式の解の配置問題（判別式、軸の位置、端点の符号）として処理する。

解法1

対数の真数条件より、$x > 0$ かつ $ax > 0$ である。 方程式が $x > \sqrt{10} > 0$ なる解をもつためには、$a > 0$ でなければならない。

与えられた方程式の第1項を展開すると、

$$\left( \log_{\frac{1}{10}} a + \log_{\frac{1}{10}} x \right)^2 + \log_{\frac{1}{10}} x + \frac{1}{4} = 0$$

ここで、$t = \log_{\frac{1}{10}} x$ とおく。

底が $\frac{1}{10}$ であり、$0 < \frac{1}{10} < 1$ であるから、$x > \sqrt{10}$ のとき、

$$\log_{\frac{1}{10}} x < \log_{\frac{1}{10}} \sqrt{10}$$

$$t < \log_{10^{-1}} 10^{\frac{1}{2}}$$

$$t < -\frac{1}{2}$$

となる。したがって、与えられた方程式が条件を満たすのは、$t$ についての2次方程式

$$\left( \log_{\frac{1}{10}} a + t \right)^2 + t + \frac{1}{4} = 0$$

が実数解をもち、そのすべての解が $t < -\frac{1}{2}$ を満たすときである。

$A = \log_{\frac{1}{10}} a$ とおき、この2次方程式を展開して $t$ について整理する。

$$t^2 + 2At + A^2 + t + \frac{1}{4} = 0$$

$$t^2 + (2A + 1)t + A^2 + \frac{1}{4} = 0$$

この左辺を $f(t)$ とおく。 $f(t) = 0$ が実数解をもち、それらがすべて $-\frac{1}{2}$ より小さくなる条件は、判別式を $D$ とすると、以下の3つを同時に満たすことである。

(1) $D \ge 0$

(2) 放物線 $y = f(t)$ の軸が $t < -\frac{1}{2}$ にある

(3) $f\left(-\frac{1}{2}\right) > 0$

(1) について、

$$D = (2A + 1)^2 - 4\left(A^2 + \frac{1}{4}\right)$$

$$= 4A^2 + 4A + 1 - 4A^2 - 1 = 4A$$

であるから、$4A \ge 0$ より $A \ge 0$ となる。

(2) について、$f(t)$ を平方完成すると、

$$f(t) = \left( t + \frac{2A + 1}{2} \right)^2 - \frac{(2A + 1)^2}{4} + A^2 + \frac{1}{4}$$

軸は直線 $t = -A - \frac{1}{2}$ であるから、

$$-A - \frac{1}{2} < -\frac{1}{2}$$

これを解いて、$A > 0$ となる。

(3) について、

$$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + (2A + 1)\left(-\frac{1}{2}\right) + A^2 + \frac{1}{4}$$

$$= \frac{1}{4} - A - \frac{1}{2} + A^2 + \frac{1}{4}$$

$$= A^2 - A$$

であるから、$A^2 - A > 0$ より $A(A - 1) > 0$ となり、

$$A < 0 \quad \text{または} \quad A > 1$$

となる。

(1)、(2)、(3) の共通範囲を求めると、

$$A > 1$$

となる。ここで $A = \log_{\frac{1}{10}} a$ を戻すと、

$$\log_{\frac{1}{10}} a > 1$$

$$\log_{\frac{1}{10}} a > \log_{\frac{1}{10}} \frac{1}{10}$$

底 $\frac{1}{10}$ は1より小さいから、不等号の向きが逆転し、

$$0 < a < \frac{1}{10}$$

となる。これは真数条件 $a > 0$ を満たしている。

解説

対数を含む方程式を、変数変換によって2次方程式の解の配置問題に帰着させる典型的な問題である。文字で置き換えた際に、元の変数の条件（$x > \sqrt{10}$）を新しい変数（$t$）の条件に正しく書き換えることが重要となる。対数の底が $1$ より小さい場合は、大小関係の不等号が逆転することに注意しなければならない。また、真数条件の確認を忘れないようにする。

答え

$0 < a < \frac{1}{10}$