数学2 対数関数 問題 59 解説

方針・初手

対数の底を $2$ に統一し、式の見通しを良くする。その際、対数の真数条件および底の条件を最初に確認する。変数を置き換えることで、代数的な不等式の問題に帰着させる。

解法1

対数の真数条件と底の条件より、

$$x > 0, \quad x \neq 1, \quad y > 0$$

である。与えられた不等式の対数の底を $2$ に変換すると、

$$\frac{1}{\log_2 x} - (\log_2 y) \frac{\log_2 y}{\log_2 x} < 4(\log_2 x - \log_2 y)$$

となる。ここで、$X = \log_2 x, Y = \log_2 y$ とおく。条件 $x \neq 1$ より $X \neq 0$ である。不等式は次のように書き換えられる。

$$\frac{1 - Y^2}{X} < 4(X - Y)$$

$X$ の正負によって場合分けを行う。

(i) $X > 0$ すなわち $x > 1$ のとき

両辺に正の数 $X$ を掛けると、

$$1 - Y^2 < 4X(X - Y)$$

$$4X^2 - 4XY + Y^2 - 1 > 0$$

$$(2X - Y)^2 - 1 > 0$$

$$(2X - Y - 1)(2X - Y + 1) > 0$$

これを解くと、

$$2X - Y - 1 > 0 \quad \text{かつ} \quad 2X - Y + 1 > 0 \quad \implies \quad Y < 2X - 1$$

または

$$2X - Y - 1 < 0 \quad \text{かつ} \quad 2X - Y + 1 < 0 \quad \implies \quad Y > 2X + 1$$

したがって、

$$Y < 2X - 1 \quad \text{または} \quad Y > 2X + 1$$

$X = \log_2 x, Y = \log_2 y$ に戻すと、

$$\log_2 y < 2\log_2 x - 1 \quad \text{または} \quad \log_2 y > 2\log_2 x + 1$$

$$\log_2 y < \log_2 \frac{x^2}{2} \quad \text{または} \quad \log_2 y > \log_2 (2x^2)$$

底 $2$ は $1$ より大きいので、真数の大小関係は変わらず、

$$y < \frac{x^2}{2} \quad \text{または} \quad y > 2x^2$$

真数条件 $y > 0$ を考慮すると、

$$0 < y < \frac{x^2}{2} \quad \text{または} \quad y > 2x^2$$

となる。

(ii) $X < 0$ すなわち $0 < x < 1$ のとき

両辺に負の数 $X$ を掛けると、不等号の向きが変わり、

$$1 - Y^2 > 4X(X - Y)$$

$$4X^2 - 4XY + Y^2 - 1 < 0$$

$$(2X - Y - 1)(2X - Y + 1) < 0$$

これを解くと、

$$2X - 1 < Y < 2X + 1$$

$X = \log_2 x, Y = \log_2 y$ に戻すと、

$$2\log_2 x - 1 < \log_2 y < 2\log_2 x + 1$$

$$\log_2 \frac{x^2}{2} < \log_2 y < \log_2 (2x^2)$$

底 $2$ は $1$ より大きいので、

$$\frac{x^2}{2} < y < 2x^2$$

このとき、真数条件 $y > 0$ は常に満たされている。

(i)、(ii) より、求める領域は $x > 1$ のとき $0 < y < \frac{x^2}{2}$ または $y > 2x^2$、$0 < x < 1$ のとき $\frac{x^2}{2} < y < 2x^2$ を満たす範囲である。

解説

対数不等式の基本である「真数条件・底の条件の確認」と「底の統一」を確実に行うことが求められる問題である。分母を払う際に、分母の正負によって不等号の向きが変わるため、場合分けが必要になる。$X, Y$ と置き換えて二次式の因数分解の形に持ち込むと、計算を簡潔に進めることができる。

答え

求める領域は、以下の不等式を満たす範囲である。

$0 < x < 1$ のとき、$\frac{x^2}{2} < y < 2x^2$

$x > 1$ のとき、$0 < y < \frac{x^2}{2}$ または $y > 2x^2$

境界線はすべて含まない。