数学2 対数関数 問題 60 解説

方針・初手

対数の底が $a$、$a^n$、$b$、$b^n$ と混在しているため、対数の底の変換公式を用いて底を統一するか、基本性質を用いて扱いやすい形に変形してから計算を進める。

解法1

対数の性質および底の変換公式を用いると、与式の各項は次のように変形できる。

$$\log_{a^n} b^n = \frac{\log_a b^n}{\log_a a^n} = \frac{n \log_a b}{n} = \log_a b$$

$$\log_b a^n = n \log_b a$$

$$\log_{b^n} a = \frac{\log_b a}{\log_b b^n} = \frac{\log_b a}{n} = \frac{1}{n} \log_b a$$

これらを与えられた式に代入して整理する。

$$\begin{aligned} (\log_a b + \log_{a^n} b^n)(\log_b a^n + \log_{b^n} a) &= (\log_a b + \log_a b) \left( n \log_b a + \frac{1}{n} \log_b a \right) \\ &= (2 \log_a b) \left\{ \left( n + \frac{1}{n} \right) \log_b a \right\} \\ &= 2 \left( n + \frac{1}{n} \right) \log_a b \cdot \log_b a \end{aligned}$$

ここで、底の変換公式より $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$ であるため、$\log_a b \cdot \log_b a = 1$ が成り立つ。

したがって、与式は次のように計算できる。

$$2 \left( n + \frac{1}{n} \right) = \frac{2(n^2 + 1)}{n}$$

解説

対数の計算問題における基本である「底の統一」を行うことで、複雑に見える式を単純化できる。

本問では、$\log_{a^k} b^k = \log_a b$ という性質を理解していると計算が早い。これは底の変換公式から容易に導くことができる。また、$\log_a b \cdot \log_b a = 1$ となることも頻出の変形であるため、迷わず使えるようにしておきたい。

答え

$\frac{2(n^2+1)}{n}$