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数学2 対数関数問題 62 解説

方針・初手

与えられた3つの式をすべて $\log_a M$ の形に統一し、真数 $M$ の大小を比較する。対数の底 $a$ の条件が明記されていないため、対数の定義を満たす $a>0, a \neq 1$ を前提とし、$a>1$ と $0<a<1$ の場合で分けて大小関係を判定する。

解法1

与えられた3つの式をそれぞれ対数の性質を用いて変形する。

$$A = \log_a \left(\frac{x+y}{2}\right)$$

$$B = \frac{\log_a(x+y)}{2} = \log_a \sqrt{x+y}$$

$$C = \frac{\log_a x + \log_a y}{2} = \frac{\log_a(xy)}{2} = \log_a \sqrt{xy}$$

これらの真数をそれぞれ $M_A, M_B, M_C$ とおく。

$$M_A = \frac{x+y}{2}, \quad M_B = \sqrt{x+y}, \quad M_C = \sqrt{xy}$$

$x>2, y>2$ の条件のもとで、これらの大小を比較する。

まず、$M_B$ と $M_C$ について、どちらも正であるから2乗の差をとる。

$$M_C^2 - M_B^2 = xy - (x+y) = (x-1)(y-1) - 1$$

$x>2, y>2$ より $x-1>1, y-1>1$ であるから、以下の不等式が成り立つ。

$$(x-1)(y-1) > 1 \cdot 1 = 1$$

よって、$M_C^2 - M_B^2 > 0$ すなわち $M_B^2 < M_C^2$ となる。$M_B>0, M_C>0$ より $M_B < M_C$ である。

次に、$M_A$ と $M_C$ の大小を比較する。差をとると以下のようになる。

$$M_A - M_C = \frac{x+y}{2} - \sqrt{xy} = \frac{x - 2\sqrt{xy} + y}{2} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{2} \ge 0$$

よって、$M_C \le M_A$ が成り立つ。等号は $x=y$ のとき成立する。

以上より、真数の大小関係は以下のようになる。

$$M_B < M_C \le M_A$$

すなわち、以下の不等式を得る。

$$\sqrt{x+y} < \sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$$

対数関数の底 $a$ については、定義より $a>0, a \neq 1$ である。底の範囲によって対数の大小関係が変わるため、場合分けを行う。

(i) $a>1$ のとき

底が $1$ より大きいとき、対数関数 $y = \log_a x$ は単調増加である。したがって、真数の大小関係がそのまま対数値の大小関係となる。

$$\log_a \sqrt{x+y} < \log_a \sqrt{xy} \le \log_a \left(\frac{x+y}{2}\right)$$

よって、小さい順に $B, C, A$ となる。

(ii) $0<a<1$ のとき

底が $1$ より小さいとき、対数関数 $y = \log_a x$ は単調減少である。したがって、真数の大小関係と対数値の大小関係が逆転する。

$$\log_a \left(\frac{x+y}{2}\right) \le \log_a \sqrt{xy} < \log_a \sqrt{x+y}$$

よって、小さい順に $A, C, B$ となる。

解説

対数の大小比較における標準的な問題である。式を $\log_a M$ の形に変形して真数の比較に帰着させることが第一歩となる。真数の比較では、$xy$ と $x+y$ の大小を評価する際に $(x-1)(y-1)$ の形を作る手法が頻出である。また、$M_A$ と $M_C$ の比較は相加平均と相乗平均の大小関係そのものであり、差の平方を作って証明できる。

最後に、対数の底 $a$ についての条件が問題文で明記されていないため、底が $1$ より大きいか小さいかによる場合分けを忘れないことが重要である。