数学2 対数関数 問題 63 解説

方針・初手

対数の性質を用いて与えられた等式から真数部分の方程式を導き、$x$ と $y$ の関係式を求める。その後、条件 $x > y$ に適する関係式を選択し、求める分数式に代入する。

解法1

対数の真数は正であるから、$x > 0$ かつ $y > 0$ かつ $2x + 3y > 0$ である。 条件 $x > 0$ かつ $y > 0$ を満たせば、$2x + 3y > 0$ も満たされる。

与えられた等式 $2 \log_3 (2x + 3y) = \log_3 x + \log_3 y + 3$ を変形する。

$$\log_3 (2x + 3y)^2 = \log_3 x + \log_3 y + \log_3 3^3$$

右辺を一つにまとめると、

$$\log_3 (2x + 3y)^2 = \log_3 (27xy)$$

底が等しいので、真数同士を比較して、

$$(2x + 3y)^2 = 27xy$$

展開して整理すると、

$$4x^2 + 12xy + 9y^2 = 27xy$$

$$4x^2 - 15xy + 9y^2 = 0$$

左辺を因数分解すると、

$$(x - 3y)(4x - 3y) = 0$$

よって、$x = 3y$ または $x = \frac{3}{4}y$ となる。 ここで、真数条件より $y > 0$ であり、問題の条件として $x > y$ が与えられている。 $x = \frac{3}{4}y$ とすると $x < y$ となり条件に反するため不適である。 したがって、$x = 3y$ と決まる。

求める分数式の $x$ に $3y$ を代入すると、

$$\frac{x^2 + xy - 4y^2}{xy + y^2} = \frac{(3y)^2 + (3y)y - 4y^2}{(3y)y + y^2}$$

$$= \frac{9y^2 + 3y^2 - 4y^2}{3y^2 + y^2}$$

$$= \frac{8y^2}{4y^2}$$

$y > 0$ より $y \neq 0$ であるから、分母分子を $y^2$ で約分して計算すると、

$$\frac{8y^2}{4y^2} = 2$$

解説

対数方程式の基本的な解法を問う問題である。対数を扱う際は、最初に必ず「真数条件」を確認すること。本問では真数条件により $x > 0, y > 0$ が得られ、これが方程式から得られた $x$ と $y$ の関係式のうち、どちらが $x > y$ の条件を満たすかを判定するための重要な前提となる。 また、求める式は同次式（分母分子の各項の次数がすべて等しい式）であるため、今回のように $x$ を $y$ で表して代入する方法のほか、与式の分母分子を $y^2$ で割り、$t = \frac{x}{y}$ の式として計算する方法も有効である。

答え

2