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数学2 対数関数問題 64 解説

方針・初手

$X = \log_{10} x$, $Y = \log_{10} y$ とおき、与えられた条件を $X$ と $Y$ の関係式および変域に置き換える。その後、各問題の式を $X$ のみの関数として表し、その関数の最大値・最小値を求める。

解法1

$x \geqq 10$ の両辺の常用対数をとると、底の $10$ は $1$ より大きいため、

$$\log_{10} x \geqq 1$$

同様に、$y \geqq 10$ の両辺の常用対数をとると、

$$\log_{10} y \geqq 1$$

また、$xy = 10^3$ の両辺の常用対数をとると、

$$\log_{10} (xy) = \log_{10} 10^3$$

$$\log_{10} x + \log_{10} y = 3$$

ここで、$X = \log_{10} x$, $Y = \log_{10} y$ とおく。上の条件より、

$$X \geqq 1, \quad Y \geqq 1, \quad X + Y = 3$$

$Y = 3 - X$ であり、$Y \geqq 1$ であるから、

$$3 - X \geqq 1 \iff X \leqq 2$$

これと $X \geqq 1$ を合わせて、$X$ のとり得る値の範囲は、

$$1 \leqq X \leqq 2$$

となる。

(1)

与えられた式は $XY$ と表せる。$Y = 3 - X$ を代入すると、

$$XY = X(3 - X) = -X^2 + 3X = -\left(X - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4}$$

$1 \leqq X \leqq 2$ において、この2次関数は、 $X = \frac{3}{2}$ のとき、最大値 $\frac{9}{4}$ をとる。 $X = 1$ または $X = 2$ のとき、最小値 $2$ をとる。

$X = \frac{3}{2}$ のとき、$\log_{10} x = \frac{3}{2}$ より $x = 10^{\frac{3}{2}} = 10\sqrt{10}$ である。このとき $Y = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ より $\log_{10} y = \frac{3}{2}$ となり、$y = 10\sqrt{10}$ を得る。

$X = 1$ のとき、$\log_{10} x = 1$ より $x = 10$ である。このとき $Y = 2$ より $\log_{10} y = 2$ となり、$y = 100$ を得る。

$X = 2$ のとき、$\log_{10} x = 2$ より $x = 100$ である。このとき $Y = 1$ より $\log_{10} y = 1$ となり、$y = 10$ を得る。

(2)

底の変換公式より、

$$\log_x y = \frac{\log_{10} y}{\log_{10} x} = \frac{Y}{X}$$

$Y = 3 - X$ を代入すると、

$$\frac{Y}{X} = \frac{3 - X}{X} = \frac{3}{X} - 1$$

$1 \leqq X \leqq 2$ において、関数 $\frac{3}{X} - 1$ は単調に減少する。

よって、$X = 1$ のとき、最大値 $\frac{3}{1} - 1 = 2$ をとる。このときの $x, y$ の値は(1)より $x = 10, y = 100$ である。

また、$X = 2$ のとき、最小値 $\frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$ をとる。このときの $x, y$ の値は(1)より $x = 100, y = 10$ である。

解説

対数に関する条件式が与えられたときの最大値・最小値問題の典型である。底が $10$ で統一されていること、あるいは底の変換公式で統一できることから、$\log_{10} x$, $\log_{10} y$ を一つの文字に置き換える発想が自然である。置き換えを行った際は、必ず新しい文字の変域を確認することが重要である。本問では $x \geqq 10, y \geqq 10$ から $X \geqq 1, Y \geqq 1$ となり、$X+Y=3$ を用いて $X$ の範囲を絞り込む手順がポイントとなる。