数学2 対数関数 問題 67 解説

方針・初手

対数不等式を解くための基本手順に従う。まず真数条件を確認し、$x$ の変域を絞り込む。その後、底の変換公式を用いて両辺の対数の底を揃える。最後に、底と $1$ との大小関係によって場合分けを行い、真数同士の不等式を解く。

解法1

対数の真数は正であるから、

$$x + 2 > 0 \quad \text{かつ} \quad 3x + 16 > 0$$

これらを解くと $x > -2$ かつ $x > -\frac{16}{3}$ となる。両者を同時に満たす範囲は、

$$x > -2 \quad \cdots \text{①}$$

である。

次に、与えられた不等式の右辺について、底の変換公式を用いて底を $a$ に揃える。

$$\log_{a^2}(3x + 16) = \frac{\log_a(3x + 16)}{\log_a a^2} = \frac{1}{2} \log_a(3x + 16)$$

これを与式に代入して整理する。

$$\log_a(x + 2) \geqq \frac{1}{2} \log_a(3x + 16)$$

両辺を $2$ 倍して、

$$2 \log_a(x + 2) \geqq \log_a(3x + 16)$$

対数の性質を用いて係数を真数の指数に移動させると、

$$\log_a(x + 2)^2 \geqq \log_a(3x + 16) \quad \cdots \text{②}$$

となる。ここで、底 $a$ の値によって場合分けを行う。

(i) $a > 1$ のとき

底が $1$ より大きいため、不等式 ② を満たす真数の大小関係は変わらない。

$$(x + 2)^2 \geqq 3x + 16$$

展開して整理すると、

$$x^2 + 4x + 4 \geqq 3x + 16$$

$$x^2 + x - 12 \geqq 0$$

因数分解して、

$$(x + 4)(x - 3) \geqq 0$$

これを解くと $x \leqq -4$ または $3 \leqq x$ となる。 真数条件 ① ($x > -2$) との共通範囲をとって、

$$x \geqq 3$$

を得る。

(ii) $0 < a < 1$ のとき

底が $0$ より大きく $1$ より小さいため、不等式 ② を満たす真数の大小関係は逆転する。

$$(x + 2)^2 \leqq 3x + 16$$

整理すると、

$$x^2 + x - 12 \leqq 0$$

因数分解して、

$$(x + 4)(x - 3) \leqq 0$$

これを解くと $-4 \leqq x \leqq 3$ となる。 真数条件 ① ($x > -2$) との共通範囲をとって、

$$-2 < x \leqq 3$$

を得る。

解説

対数不等式の基本解法を問う標準的な問題である。重要なポイントは以下の2点である。

• まず最初に真数条件（真数 $> 0$）を求め、最終的な解をその範囲内に絞り込むこと。この操作を忘れると、不適な解を含んでしまう。
• 対数の底を揃えた後、真数を比較する際に、底が $1$ より大きいか、$0$ と $1$ の間にあるかで不等号の向きが変わることに注意すること。文字を底とする場合は、自ら場合分けを記述する必要がある。

答え

$a > 1$ のとき、$x \geqq 3$

$0 < a < 1$ のとき、$-2 < x \leqq 3$