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数学2 対数関数問題 68 解説

方針・初手

対数の真数条件から、まずは真数が正であることを確認する。次に、式に現れる三角関数を $\cos\theta$ のみに統一し、$\cos\theta = t$ と置換して $t$ の関数として考える。置換した文字 $t$ の定義域および真数条件から $t$ のとり得る値の範囲を絞り込み、それぞれの真数が $2^{\text{整数}}$ となるような $t$ を求める。

解法1

$\cos\theta = t$ とおく。$0 \leqq \theta < 2\pi$ より、

$$-1 \leqq t \leqq 1$$

である。与えられた対数の真数をそれぞれ $X, Y$ とおき、$t$ の関数として表す。

$$X = 4\sin^2\theta + 3\cos\theta - 4 = 4(1 - \cos^2\theta) + 3\cos\theta - 4 = -4\cos^2\theta + 3\cos\theta$$

より、

$$X = -4t^2 + 3t$$

$$Y = -4\cos^3\theta + 3\cos\theta + 1 = -4t^3 + 3t + 1$$

対数の真数条件より、$X > 0$ かつ $Y > 0$ である。 $X > 0$ より、

$$-t(4t - 3) > 0$$

よって、

$$0 < t < \frac{3}{4}$$

$Y > 0$ については、$Y = -(t - 1)(4t^2 + 4t + 1) = -(t - 1)(2t + 1)^2$ と因数分解できるので、

$$-(t - 1)(2t + 1)^2 > 0$$

これを解いて、$t \neq -\frac{1}{2}$ かつ $t < 1$ を得る。これらと $0 < t < \frac{3}{4}$ の共通範囲をとると、満たすべき $t$ の条件は、

$$0 < t < \frac{3}{4}$$

となる。

次に、$Y = -4t^3 + 3t + 1$ の増減を調べる。

$$Y' = -12t^2 + 3 = -3(2t - 1)(2t + 1)$$

$0 < t < \frac{3}{4}$ において $Y' = 0$ となるのは $t = \frac{1}{2}$ のときであり、この範囲で $Y$ は増減する。極大値は $t = \frac{1}{2}$ のとき、

$$Y = -4\left(\frac{1}{8}\right) + 3\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 2$$

また、端点における値は $Y(0) = 1$、および

$$Y\left(\frac{3}{4}\right) = -4\left(\frac{27}{64}\right) + 3\left(\frac{3}{4}\right) + 1 = \frac{25}{16}$$

であるから、$0 < t < \frac{3}{4}$ における $Y$ の値域は、

$$1 < Y \leqq 2$$

となる。$\log_2 Y$ が整数となるのは、$Y = 2^n$（$n$ は整数）となるときであるが、この値域に含まれる $2^n$ の値は $n = 1$ のときの $2$ のみである。したがって、$Y = 2$ となる必要があり、増減の確認からこれを満たすのは

$$t = \frac{1}{2}$$

のときのみである。

このとき、$X$ の値は、

$$X = -4\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{2}\right) = -1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$$

となり、$\log_2 X = \log_2 2^{-1} = -1$ となるから、$\log_2 X$ も整数となる条件を満たす。

ゆえに、$t = \frac{1}{2}$ すなわち $\cos\theta = \frac{1}{2}$ である。 $0 \leqq \theta < 2\pi$ においてこの方程式を解いて、

$$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$$

を得る。

解説

三角関数の方程式・不等式を扱う際の定石である「種類の統一」と「置換」を行う問題である。置換した文字 $t$ のとり得る範囲（今回は真数条件からさらに厳しく制限される）を正確に把握することが重要である。また、$X, Y$ の両方が $2^n$ の形になる条件を求める際、無理に両方を同時に処理しようとせず、微分を用いて値域が絞りやすい３次関数 $Y$ の方からアプローチするのがよい。結果として $Y$ の条件から $t$ が一意に定まり、もう一方の条件を満たすかどうかの確認に帰着できる。