数学2 対数関数 問題 69 解説

方針・初手

対数を含む方程式・不等式を解く際は、変形を行う前にまず真数条件（真数が正であること）を確認する。その後、対数の底を揃え、対数の性質を用いて式を整理し、真数同士の比較に持ち込むのが基本方針である。

解法1

(1)

対数の真数は正であるから、真数条件より

$$2x - 5 > 0 \quad \text{かつ} \quad x - 3 > 0$$

これを解いて

$$x > \frac{5}{2} \quad \text{かつ} \quad x > 3$$

共通範囲をとって

$$x > 3 \quad \cdots \text{①}$$

与えられた不等式は、対数の性質より以下のように変形できる。

$$\log_{10} (2x - 5)(x - 3) \leqq \log_{10} 10$$

底の $10$ は $1$ より大きいから、大小関係はそのまま保たれ、

$$(2x - 5)(x - 3) \leqq 10$$

展開して整理すると、

$$2x^2 - 11x + 15 \leqq 10$$

$$2x^2 - 11x + 5 \leqq 0$$

左辺を因数分解して、

$$(2x - 1)(x - 5) \leqq 0$$

これを解くと、

$$\frac{1}{2} \leqq x \leqq 5 \quad \cdots \text{②}$$

①と②の共通範囲を求めて、

$$3 < x \leqq 5$$

(2)

対数の真数は正であるから、真数条件より

$$x + 1 > 0 \quad \text{かつ} \quad 4 - x > 0$$

これを解いて

$$-1 < x < 4 \quad \cdots \text{③}$$

与えられた方程式の第2項に対して底の変換公式を用い、底を $2$ に揃える。

$$\log_{2}(x + 1) + \frac{\log_{2}(4 - x)}{\log_{2} 4} = 2$$

$\log_{2} 4 = 2$ であるから、

$$\log_{2}(x + 1) + \frac{1}{2} \log_{2}(4 - x) = 2$$

両辺を2倍して分母を払う。

$$2 \log_{2}(x + 1) + \log_{2}(4 - x) = 4$$

対数の性質を用いて左辺を一つにまとめ、右辺を $\log_{2}$ で表す。

$$\log_{2}(x + 1)^2(4 - x) = \log_{2} 16$$

底が等しいので、真数を比較する。

$$(x + 1)^2(4 - x) = 16$$

左辺を展開して整理する。

$$(x^2 + 2x + 1)(4 - x) = 16$$

$$-x^3 + 2x^2 + 7x + 4 = 16$$

$$x^3 - 2x^2 - 7x + 12 = 0$$

ここで、$P(x) = x^3 - 2x^2 - 7x + 12$ とおくと、$P(3) = 27 - 18 - 21 + 12 = 0$ となるから、因数定理より $P(x)$ は $x - 3$ を因数にもつ。

$$(x - 3)(x^2 + x - 4) = 0$$

これを解いて、

$$x = 3, \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$$

これらの解が真数条件③を満たすかどうかを吟味する。 $x = 3$ は $-1 < x < 4$ を満たす。 $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$ より $4 < \sqrt{17} < 5$ であるから、

$$\frac{-1 - 5}{2} < \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} < \frac{-1 - 4}{2}$$

すなわち $-3 < \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} < -\frac{5}{2}$ となり、これは $-1 < x$ を満たさないため不適である。 また、

$$\frac{-1 + 4}{2} < \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} < \frac{-1 + 5}{2}$$

すなわち $\frac{3}{2} < \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} < 2$ となり、これは $-1 < x < 4$ を満たす。

以上より、求める方程式の解は $x = 3, \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$ となる。

解説

対数方程式・不等式における極めて標準的な問題である。真数条件の確認、底の統一、真数の比較という一連の手順を正確に実行できるかが問われている。(2)では、導かれた3次方程式の解のうち、無理数となる解に対して平方根の近似値を用いた評価を行い、真数条件を満たすかどうかを確実に判定する力が必要である。

答え

(1) $3 < x \leqq 5$

(2) $x = 3, \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$