数学2 対数関数 問題 70 解説

方針・初手

与えられた等式 $xy^2 = 10^5$ の両辺を底を10とする対数（常用対数）をとり、$\log_{10}x$ と $\log_{10}y$ の関係式を導く。 変数の定義域にも対数をとり、$\log_{10}y$（すなわち $Y$）についての変域を求める。 後半は、$\log_{10}x \cdot \log_{10}y$ を $Y$ の2次関数として表し、平方完成を用いて最大値を与える $Y$ の値を特定する。

解法1

$x \geqq 10$ の両辺の常用対数をとると

$$\log_{10} x \geqq \log_{10} 10 = 1$$

$y \geqq 1$ の両辺の常用対数をとると

$$\log_{10} y \geqq \log_{10} 1 = 0$$

ここで、$Y = \log_{10} y$ であるから

$$Y \geqq 0 \quad \cdots \text{①}$$

また、$xy^2 = 10^5$ の両辺の常用対数をとると

$$\log_{10}(xy^2) = \log_{10} 10^5$$

$$\log_{10} x + 2\log_{10} y = 5$$

$\log_{10} x = 5 - 2Y$ と表せる。これと $\log_{10} x \geqq 1$ より

$$5 - 2Y \geqq 1$$

$$2Y \leqq 4$$

$$Y \leqq 2 \quad \cdots \text{②}$$

①、②より、$Y$ のとり得る値の範囲は

$$0 \leqq Y \leqq 2$$

次に、$\log_{10} x \cdot \log_{10} y$ が最大となる場合を考える。 この式を $Y$ を用いて表し、$Z$ とおくと

$$\begin{aligned} Z &= (5 - 2Y)Y \\ &= -2Y^2 + 5Y \\ &= -2\left(Y^2 - \frac{5}{2}Y\right) \\ &= -2\left(Y - \frac{5}{4}\right)^2 + \frac{25}{8} \end{aligned}$$

$0 \leqq Y \leqq 2$ であるから、$Z$ は $Y = \frac{5}{4}$ のとき最大となる。 このとき、$\log_{10} y = \frac{5}{4}$ であり、

$$\log_{10} x = 5 - 2 \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{2}$$

である。求める値は $\frac{x}{y}$ であるから、対数の性質より

$$\begin{aligned} \log_{10} \frac{x}{y} &= \log_{10} x - \log_{10} y \\ &= \frac{5}{2} - \frac{5}{4} \\ &= \frac{5}{4} \end{aligned}$$

対数の定義より

$$\frac{x}{y} = 10^{\frac{5}{4}} = 10\sqrt[4]{10}$$

解説

対数関数の最大・最小を求める典型的な問題である。 ポイントは、与えられた等式の両辺の対数をとり、変数を $\log_{10} x$ と $\log_{10} y$ に変換することである。さらに、もとの変数 $x, y$ の定義域（$x \geqq 10, y \geqq 1$）から、新しい変数の定義域を忘れずに求めることが重要である。 ここでは、一文字消去法を用いて2次関数の最大・最小問題に帰着させている。最後に求めるものが $\frac{x}{y}$ の値であるため、$\log_{10} \frac{x}{y}$ を計算してから真数を求める手順を踏むと計算がスムーズである。

答え

⑤ $0 \leqq Y \leqq 2$

⑥ $10^{\frac{5}{4}}$ （または $10\sqrt[4]{10}$）