数学2 対数関数 問題 73 解説

方針・初手

底が $4$ で真数が $2022$ の対数の値を評価する問題である。与えられた条件が常用対数 $\log_{10} 2$ の値の範囲であるため、まずは底の変換公式を用いて $\log_4 2022$ を常用対数で表す。その後、真数の $2022$ に近い値で、なおかつ素因数分解したときに $2$ と $10$ のみで表せるような数を探し、$2022$ を不等式で挟むことを考える。

解法1

底の変換公式より、

$$\log_4 2022 = \frac{\log_{10} 2022}{\log_{10} 4} = \frac{\log_{10} 2022}{2 \log_{10} 2}$$

となる。ここで、$2022$ を都合の良い数で上下から挟むことを考える。

(i) 上からの評価

$2022 < 2048 = 2^{11}$ であるから、底が $10$ （ $> 1$ ）の対数をとって、

$$\log_{10} 2022 < \log_{10} 2^{11} = 11 \log_{10} 2$$

が成り立つ。両辺を $2 \log_{10} 2$ （ $> 0$ ）で割ると、

$$\frac{\log_{10} 2022}{2 \log_{10} 2} < \frac{11 \log_{10} 2}{2 \log_{10} 2} = 5.5$$

よって、

$$\log_4 2022 < 5.5$$

が示された。

(ii) 下からの評価

$2000 < 2022$ であり、$2000 = 2 \times 10^3$ であるから、底が $10$ （ $> 1$ ）の対数をとって、

$$\log_{10} (2 \times 10^3) < \log_{10} 2022$$

$$\log_{10} 2 + 3 < \log_{10} 2022$$

両辺を $2 \log_{10} 2$ （ $> 0$ ）で割ると、

$$\frac{\log_{10} 2 + 3}{2 \log_{10} 2} < \frac{\log_{10} 2022}{2 \log_{10} 2}$$

すなわち、

$$\frac{\log_{10} 2 + 3}{2 \log_{10} 2} < \log_4 2022$$

となる。ここで、$5.4$ とこの左辺の大小を比較するため、差をとる。

$$\frac{\log_{10} 2 + 3}{2 \log_{10} 2} - 5.4 = \frac{\log_{10} 2 + 3 - 10.8 \log_{10} 2}{2 \log_{10} 2} = \frac{3 - 9.8 \log_{10} 2}{2 \log_{10} 2}$$

与えられた条件 $\log_{10} 2 < 0.3011$ より、

$$9.8 \log_{10} 2 < 9.8 \times 0.3011 = 2.95078$$

よって、$3 - 9.8 \log_{10} 2 > 3 - 2.95078 > 0$ である。分母の $2 \log_{10} 2$ も正であるから、

$$\frac{\log_{10} 2 + 3}{2 \log_{10} 2} - 5.4 > 0$$

すなわち、

$$5.4 < \frac{\log_{10} 2 + 3}{2 \log_{10} 2}$$

が成り立つ。したがって、

$$5.4 < \log_4 2022$$

が示された。

(i), (ii) より、

$$5.4 < \log_4 2022 < 5.5$$

であることが示された。

解説

対数の値の評価問題における定石である「真数を都合の良い数で挟む」手法を問う問題である。 本問では、底を $10$ に変換したあと、$\log_{10} 2$ の値を用いて計算ができるように、$2^m \cdot 10^n$ の形で $2022$ を近似できるかが鍵となる。 特に $2022 < 2048 = 2^{11}$ に気付けると、上からの評価が鮮やかに決まる。 下からの評価については、$2000 = 2 \times 10^3$ を用いるのが自然な発想である。その後の不等式の処理では、無理に割り算を実行するよりも、示すべき目標との差をとって正であることを示す方が、論理の飛躍がなく計算ミスも防ぎやすい。

答え

（証明問題のため省略、解法にて題意は示された。）