数学2 対数関数 問題 74 解説

方針・初手

対数を含む方程式を解くための基本方針に従い、まずは対数の底と真数の条件を確認します。その後、底の変換公式を用いて対数の底を $2$ に統一し、$\log_2 x$ についての方程式に帰着させます。$\log_2 x = t$ とおくと、計算の見通しが良くなります。

解法1

対数の底の条件より、$x > 0$ かつ $x \neq 1$ である。 このとき、真数条件 $x^4 > 0$ は常に満たされる。

方程式の各項を変形する。$x > 0$ であるから、

$$\log_2 x^4 = 4 \log_2 x$$

となる。また、底の変換公式を用いると、

$$\log_x 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 x} = \frac{2}{\log_2 x}$$

となる。これらを与えられた方程式に代入すると、

$$4 \log_2 x + \left( \frac{2}{\log_2 x} \right)^2 = 0$$

$$4 \log_2 x + \frac{4}{(\log_2 x)^2} = 0$$

ここで、$t = \log_2 x$ とおく。$x \neq 1$ より $t \neq 0$ である。 方程式を $t$ を用いて表すと、

$$4t + \frac{4}{t^2} = 0$$

両辺に $\frac{t^2}{4}$ を掛けると、

$$t^3 + 1 = 0$$

$$(t + 1)(t^2 - t + 1) = 0$$

$t$ は実数であり、$t^2 - t + 1 = \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} > 0$ であるから、

$$t + 1 = 0$$

$$t = -1$$

したがって、

$$\log_2 x = -1$$

$$x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$$

これは条件 $x > 0$ かつ $x \neq 1$ を満たす。

解説

対数方程式の基本的な解法を問う問題です。最初に「底の条件」と「真数条件」を確認することが極めて重要です。本問では底に $x$ が含まれているため、$x \neq 1$ という条件が現れ、これが後で分母が $0$ にならないことの保証にもなります。底の変換公式を用いて底を統一した後は、文字で置換することで高次方程式の形に持ち込むという典型的な流れになります。

答え

$$\frac{1}{2}$$