数学2 対数関数 問題 76 解説

方針・初手

(1) については、指数に文字が含まれる等式の扱いがテーマです。各辺を $=K$ とおいて $a, b, ab$ について解くか、各辺の対数をとることで変数の関係式を導きます。

(2) は不定方程式の典型問題です。両辺に $5mn$ をかけて分母を払い、因数分解の形 $(m-a)(n-b)=k$ を作ることを目指します。

(3) は (1) および (2) の誘導を活かす問題です。(1) の結果を適用するための条件（指数が0でないこと）と、(2) の結果を適用するための条件（$m>n$）を、与えられた $1 < a < b$ などの条件から丁寧に確認していく必要があります。

解法1

(1)

$a^x = b^y = (ab)^z = K$ とおく。

$1 < a < b$ より $a > 1$ であり、また $x \neq 0$ であるから、$a^x \neq 1$ かつ $a^x > 0$ である。 したがって、$K \neq 1$ かつ $K > 0$ である。

$a^x = K$ より $a = K^{\frac{1}{x}}$ $b^y = K$ より $b = K^{\frac{1}{y}}$ $(ab)^z = K$ より $ab = K^{\frac{1}{z}}$

前の2式の辺々をかけると、

$$ab = K^{\frac{1}{x}} \cdot K^{\frac{1}{y}} = K^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$$

となる。これと $ab = K^{\frac{1}{z}}$ を比較すると、

$$K^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = K^{\frac{1}{z}}$$

$K > 0, K \neq 1$ であるから、両辺の指数を比較して、

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$$

が成り立つ（証明終）。

(2)

与式 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{5}$ の両辺に $5mn$ をかけると、

$$5n + 5m = mn$$

整理して、

$$mn - 5m - 5n = 0$$

両辺に $25$ を加えて因数分解すると、

$$(m - 5)(n - 5) = 25$$

となる。

$m, n$ は $m > n$ をみたす自然数であるから、$m \geqq 2$ かつ $n \geqq 1$ であり、

$$m - 5 > n - 5 \geqq -4$$

を満たす。 積が $25$ となる整数の組 $(m-5, n-5)$ のうち、この条件を満たすのは、

$$(m - 5, n - 5) = (25, 1)$$

のみである（$(-1, -25)$ は $n-5 \geqq -4$ を満たさないため不適）。 したがって、

$$m = 30, \quad n = 6$$

となる。

(3)

$m, n$ は自然数であるから、当然 $m \neq 0, n \neq 0$ であり、$5 \neq 0$ でもある。 したがって、与えられた等式 $a^m = b^n = (ab)^5$ に対して (1) の結果を適用することができ、

$$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{5}$$

が成り立つ。

また、$1 < a < b$ であるから、$a > 1$ かつ $a < b$ である。 各辺を $n$ 乗（$n$ は自然数より $n > 0$）すると、

$$a^n < b^n$$

ここで、条件 $a^m = b^n$ を用いると、

$$a^n < a^m$$

となる。底 $a$ について $a > 1$ であるから、指数の大小関係はそのまま保たれ、

$$n < m$$

が成り立つ。

以上より、$m, n$ は $m > n$ をみたす自然数であり、かつ $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{5}$ を満たすため、(2) の条件と完全に一致する。 よって、(2) の結果より

$$m = 30, \quad n = 6$$

である。

これを $a^m = b^n$ に代入すると、

$$a^{30} = b^6$$

$1 < b$ より $b > 0$ であるから、両辺を $\frac{1}{6}$ 乗して、

$$b = (a^{30})^{\frac{1}{6}} = a^5$$

となる。

解法2

(1) の別解

$a^x = b^y = (ab)^z$ の各辺について、底を $a$ とする対数をとる。 （$1 < a < b$ より $a > 0$ かつ $a \neq 1$ であるため、底を $a$ とすることができる）

$$\log_a a^x = \log_a b^y = \log_a (ab)^z$$

対数の性質を用いて整理すると、

$$x = y \log_a b = z (\log_a a + \log_a b)$$

すなわち、

$$x = y \log_a b = z (1 + \log_a b)$$

となる。

ここで、$y \neq 0$ であるから、$x = y \log_a b$ の両辺を $y$ で割ると、

$$\log_a b = \frac{x}{y}$$

これを $x = z (1 + \log_a b)$ に代入すると、

$$x = z \left( 1 + \frac{x}{y} \right)$$

$x, z$ は $0$ でない実数であるから、両辺を $xz$ で割って、

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{x} \left( 1 + \frac{x}{y} \right)$$

展開して整理すると、

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$$

となり、題意は示された（証明終）。

解説

前問の結果を次問の前提条件として活用していく、標準的かつ美しい流れを持った誘導問題です。

(1) では、等式が連なった形 $A=B=C$ を見たときに $=K$ とおいて各文字について解く手法（解法1）か、対数をとって指数を前に下ろす手法（解法2）のいずれも頻出の定石です。どちらを選ぶにせよ、底が1ではないことや、割る数が0ではないことの確認を怠らないようにしましょう。

(2) は分数型の不定方程式における定石通り、分母を払って $( \ ) \times ( \ ) = 整数$ の形を作ります。大小関係や正負の条件を用いて、候補をすばやく絞り込むのがポイントです。

(3) は (1) と (2) の融合ですが、「(2) を使うためには $m>n$ を示す必要がある」という点に気付けるかが鍵となります。与えられた $1 < a < b$ という一見すると地味な条件が、底を揃えた不等式評価を通じて $m>n$ の論証に活きてくる構成になっています。

答え

(1) 略（解法に記載）

(2) $m = 30, n = 6$

(3) $b = a^5$