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数学2 円問題 4 解説

方針・初手

求める円の方程式を一般形 $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおき、通る3点の座標を代入して未定係数 $l, m, n$ を $\alpha$ で表すのが定石である。あるいは、2点の垂直二等分線の方程式から円の中心の座標を $\alpha$ で表す方針でもよい。本問では (1) で方程式を求め、(2) で半径と中心の座標についての条件を処理する。

解法1

(1)

求める円 $C$ の方程式を一般形として以下のように設定する。

$$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$$

円 $C$ は点 $(0, 0)$ を通るため、座標を代入して以下を得る。

$$n = 0$$

円 $C$ は点 $(1, 1)$ を通るため、代入して以下を得る。

$$1^2 + 1^2 + l \cdot 1 + m \cdot 1 = 0$$

整理すると、以下の関係式が導かれる。

$$l + m = -2 \iff m = -l - 2$$

さらに、円 $C$ は点 $(\alpha, \alpha+1)$ を通るため、代入して以下を得る。

$$\alpha^2 + (\alpha+1)^2 + l\alpha + m(\alpha+1) = 0$$

これに $m = -l - 2$ を代入する。

$$\alpha^2 + (\alpha^2 + 2\alpha + 1) + l\alpha + (-l - 2)(\alpha+1) = 0$$

展開して整理する。

$$2\alpha^2 + 2\alpha + 1 + l\alpha - l\alpha - l - 2\alpha - 2 = 0$$

$$2\alpha^2 - l - 1 = 0$$

したがって、$l$ は次のように求まる。

$$l = 2\alpha^2 - 1$$

このとき、$m$ は以下のようになる。

$$m = -(2\alpha^2 - 1) - 2 = -2\alpha^2 - 1$$

以上より、円 $C$ の方程式は以下の通りである。

$$x^2 + y^2 + (2\alpha^2 - 1)x - (2\alpha^2 + 1)y = 0$$

(2)

(1) で求めた円 $C$ の方程式を平方完成し、中心と半径がわかる形（標準形）に変形する。

$$\left( x + \frac{2\alpha^2 - 1}{2} \right)^2 - \left( \frac{2\alpha^2 - 1}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{2\alpha^2 + 1}{2} \right)^2 - \left( \frac{2\alpha^2 + 1}{2} \right)^2 = 0$$

定数項を右辺へ移項する。

$$\left( x + \frac{2\alpha^2 - 1}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{2\alpha^2 + 1}{2} \right)^2 = \frac{(2\alpha^2 - 1)^2 + (2\alpha^2 + 1)^2}{4}$$

右辺の分子を計算する。

$$(4\alpha^4 - 4\alpha^2 + 1) + (4\alpha^4 + 4\alpha^2 + 1) = 8\alpha^4 + 2$$

したがって、右辺は以下のように整理される。

$$\frac{8\alpha^4 + 2}{4} = \frac{4\alpha^4 + 1}{2}$$

これより、円 $C$ の半径を $r$ とすると、その2乗は以下のようになる。

$$r^2 = \frac{4\alpha^4 + 1}{2}$$

問題の条件より、円 $C$ の半径は $\sqrt{5}$ であるため、$r^2 = 5$ が成り立つ。

$$\frac{4\alpha^4 + 1}{2} = 5$$

$$4\alpha^4 + 1 = 10$$

$$\alpha^4 = \frac{9}{4}$$

$\alpha$ は実数であるから $\alpha^2 \ge 0$ であり、以下のようになる。

$$\alpha^2 = \frac{3}{2}$$

よって、$\alpha$ の値は以下の通りである。

$$\alpha = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$$

このとき、円 $C$ の中心の座標は $\left( -\frac{2\alpha^2 - 1}{2}, \frac{2\alpha^2 + 1}{2} \right)$ である。これに $\alpha^2 = \frac{3}{2}$ を代入して中心の座標を求める。

$x$ 座標は以下のようになる。

$$-\frac{2 \cdot \frac{3}{2} - 1}{2} = -\frac{3 - 1}{2} = -1$$

$y$ 座標は以下のようになる。

$$\frac{2 \cdot \frac{3}{2} + 1}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$$

以上より、中心の座標は $(-1, 2)$ と求まる。

解法2

(1)

円 $C$ の中心の座標を $(p, q)$ とおく。点 $(0, 0)$ と点 $(1, 1)$ は円 $C$ 上の点であるため、中心 $(p, q)$ はこの2点を結ぶ線分の垂直二等分線上にある。

2点 $(0, 0), (1, 1)$ を結ぶ線分の中点は $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ であり、直線の傾きは $1$ であるから、その垂直二等分線の方程式は以下のようになる。

$$y - \frac{1}{2} = -1 \cdot \left( x - \frac{1}{2} \right) \iff y = -x + 1$$

したがって、中心の $y$ 座標は $q = -p + 1$ と表せる。すなわち、中心は $(p, -p+1)$ とおける。

円の半径の2乗 $r^2$ は、中心から点 $(0, 0)$ までの距離の2乗であるから、以下のように表される。

$$r^2 = p^2 + (-p+1)^2 = 2p^2 - 2p + 1$$

また、円は点 $(\alpha, \alpha+1)$ を通るため、中心からこの点までの距離の2乗は $r^2$ に等しい。

$$(\alpha - p)^2 + (\alpha+1 - (-p+1))^2 = 2p^2 - 2p + 1$$

左辺を展開して整理する。

$$(\alpha - p)^2 + (\alpha + p)^2 = 2p^2 - 2p + 1$$

$$2\alpha^2 + 2p^2 = 2p^2 - 2p + 1$$

両辺の $2p^2$ が相殺され、以下のようになる。

$$2p = 1 - 2\alpha^2$$

$$p = \frac{1 - 2\alpha^2}{2}$$

このとき、$q$ 座標は以下のようになる。

$$q = -p + 1 = -\frac{1 - 2\alpha^2}{2} + 1 = \frac{2\alpha^2 + 1}{2}$$

さらに、半径の2乗 $r^2$ は次のように求まる。

$$r^2 = 2\alpha^2 + 2p^2 = 2\alpha^2 + 2 \left( \frac{1 - 2\alpha^2}{2} \right)^2 = 2\alpha^2 + 2 \cdot \frac{1 - 4\alpha^2 + 4\alpha^4}{4} = \frac{4\alpha^4 + 1}{2}$$

以上より、中心が $\left( \frac{1 - 2\alpha^2}{2}, \frac{2\alpha^2 + 1}{2} \right)$、半径の2乗が $\frac{4\alpha^4 + 1}{2}$ であるから、円 $C$ の方程式は以下のようになる。

$$\left( x - \frac{1 - 2\alpha^2}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{2\alpha^2 + 1}{2} \right)^2 = \frac{4\alpha^4 + 1}{2}$$

(2)

解法1と同様に $r^2 = \frac{4\alpha^4 + 1}{2} = 5$ から $\alpha^2 = \frac{3}{2}$ を得る。これより $\alpha = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$ が導かれ、求めておいた中心の式 $(p, q)$ に $\alpha^2 = \frac{3}{2}$ を代入することで、中心の座標 $(-1, 2)$ を得る。

解説

与えられた3点が同一直線上にある場合、それらを通る円は存在しないため注意が必要である。しかし、本問において点 $(0, 0)$ と点 $(1, 1)$ を通る直線は $y = x$ であり、第3の点 $(\alpha, \alpha+1)$ はこの直線上には存在しない（$\alpha = \alpha+1$ を満たす実数 $\alpha$ は存在しないため）。したがって、どのような実数 $\alpha$ に対してもこれら3点は同一直線上になく、ただ1つの円が決定される。計算においては、未定係数法を用いるか、図形的な性質から中心座標を求めるかで方針が分かれるが、どちらも標準的な処理である。