数学2 円 問題 6 解説

方針・初手

与えられた方程式を平方完成して、円の方程式の標準形 $(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$ に変形する。右辺が $(\text{半径})^2$ となることから $a$ についての方程式を立てて解く。

解法1

与えられた方程式 $x^2 + y^2 - ax - 24y = a + 1$ について、$x$ と $y$ それぞれで平方完成を行う。

$$\left( x - \frac{a}{2} \right)^2 - \frac{a^2}{4} + (y - 12)^2 - 144 = a + 1$$

定数項を右辺に移項して整理する。

$$\left( x - \frac{a}{2} \right)^2 + (y - 12)^2 = \frac{a^2}{4} + a + 145$$

この方程式が半径 $15$ の円を表すとき、右辺は $15^2 = 225$ となる。

$$\frac{a^2}{4} + a + 145 = 225$$

両辺を $4$ 倍して整理する。

$$a^2 + 4a + 580 = 900$$

$$a^2 + 4a - 320 = 0$$

左辺を因数分解する。

$$(a + 20)(a - 16) = 0$$

$a$ は正の定数であるから、$a > 0$ より

$$a = 16$$

このとき、円の中心の座標は $\left( \frac{a}{2}, 12 \right)$ である。$a = 16$ を代入すると、

$$(8, 12)$$

となる。

解説

円の方程式の一般形を標準形に変形し、中心と半径の条件と結びつける基本的な問題である。文字定数を含んでいても、慌てずに通常の平方完成の手順に従えばよい。最後に $a$ の値を絞り込む際、$a$ が正の定数であるという条件を見落とさないようにする。

答え

$[ア] \quad 16$

$[イ] \quad (8, 12)$