トップ› 基礎問題› 数学2› 図形と式› 円› 問題 7

数学2 円問題 7 解説

方針・初手

2つの円の方程式を標準形に変形し、それぞれの中心の座標と半径を求める。円の交点間の距離を求める際は、2つの円の方程式から2次の項を消去して共通弦の方程式を導き、円の中心から共通弦までの距離とピタゴラスの定理を利用する。 2円の接する条件は、中心間の距離を $d$、2円の半径をそれぞれ $r_1, r_2$ とするとき、内接する条件が $d = |r_1 - r_2|$、外接する条件が $d = r_1 + r_2$ であることを用いる。

解法1

円①の方程式を変形する。

$$x^2 - 4x + y^2 = 0$$

$$(x - 2)^2 + y^2 = 4 \cdots ①'$$

これより、円①の中心は $(2, 0)$、半径は $2$ である。

円②の方程式を変形する。

$$x^2 - 16x + y^2 - 2by = -16b$$

$$(x - 8)^2 + (y - b)^2 = 64 + b^2 - 16b$$

$$(x - 8)^2 + (y - b)^2 = (b - 8)^2 \cdots ②'$$

これが円を表すためには $(b - 8)^2 > 0$、すなわち $b \neq 8$ である。このとき、円②の中心は $(8, b)$、半径は $\sqrt{(b - 8)^2} = |b - 8|$ である。

(1) $b = 3$ のとき、円②の中心は $(8, 3)$ となる。円①と②の中心間の距離を $d$ とすると、

$$d = \sqrt{(8 - 2)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

(2) $b = 3$ のとき、円②の方程式は以下のようになる。

$$x^2 + y^2 - 16x - 6y + 48 = 0$$

円①の方程式 $x^2 + y^2 - 4x = 0$ と辺々引いて $x^2, y^2$ の項を消去し、共通弦（交点を通る直線）の方程式を求める。

$$-12x - 6y + 48 = 0$$

$$2x + y - 8 = 0 \cdots ③$$

円①の中心 $(2, 0)$ から直線③までの距離を $h$ とすると、点と直線の距離の公式より

$$h = \frac{|2 \cdot 2 + 0 - 8|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$$

求める交点間の距離を $l$ とすると、円①の半径が $2$ であるから、三平方の定理より以下の関係が成り立つ。

$$\left(\frac{l}{2}\right)^2 + h^2 = 2^2$$

$$\left(\frac{l}{2}\right)^2 + \frac{16}{5} = 4$$

$$\left(\frac{l}{2}\right)^2 = 4 - \frac{16}{5} = \frac{4}{5}$$

$l > 0$ より

$$\frac{l}{2} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$

$$l = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$$

(3) 円②が円①の中心 $(2, 0)$ を通るから、円②の元の方程式に $x = 2, y = 0$ を代入する。

$$2^2 + 0^2 - 16 \cdot 2 - 2b \cdot 0 + 16b = 0$$

$$4 - 32 + 16b = 0$$

$$16b = 28$$

$$b = \frac{7}{4}$$

(4) 円①と円②の中心間の距離を $d$ とすると

$$d = \sqrt{(8 - 2)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{36 + b^2}$$

円①が円②に内接するとき、円①の半径 $2$ と円②の半径 $|b - 8|$ について、$d = ||b - 8| - 2|$ が成り立つ。両辺は正であるから、2乗して

$$36 + b^2 = (|b - 8| - 2)^2$$

$$36 + b^2 = (b - 8)^2 - 4|b - 8| + 4$$

$$36 + b^2 = b^2 - 16b + 64 - 4|b - 8| + 4$$

$$36 = -16b + 68 - 4|b - 8|$$

$$4|b - 8| = 32 - 16b$$

$$|b - 8| = 8 - 4b \cdots ④$$

右辺は $0$ 以上であるから、$8 - 4b \ge 0$ より $b \le 2$ が必要である。このとき、$b - 8 < 0$ であるから、絶対値をはずすと

$$-(b - 8) = 8 - 4b$$

$$-b + 8 = 8 - 4b$$

$$3b = 0$$

$$b = 0$$

これは $b \le 2$ を満たす。このとき円②の半径は $8$ となり、円①の半径 $2$ より大きいため、確かに円①は円②に内接する。よって $[ア] = 0$。

円①と円②が外接するとき、$d = |b - 8| + 2$ が成り立つ。同様に両辺を2乗して

$$36 + b^2 = (|b - 8| + 2)^2$$

$$36 + b^2 = (b - 8)^2 + 4|b - 8| + 4$$

$$36 + b^2 = b^2 - 16b + 64 + 4|b - 8| + 4$$

$$36 = -16b + 68 + 4|b - 8|$$

$$4|b - 8| = 16b - 32$$

$$|b - 8| = 4b - 8 \cdots ⑤$$

右辺は $0$ 以上であるから、$4b - 8 \ge 0$ より $b \ge 2$ が必要である。

(i) $2 \le b < 8$ のとき

$b - 8 < 0$ であるから

$$-(b - 8) = 4b - 8$$

$$-b + 8 = 4b - 8$$

$$5b = 16$$

$$b = \frac{16}{5}$$

これは $2 \le b < 8$ を満たす。

(ii) $b \ge 8$ のとき

$b - 8 \ge 0$ であるから

$$b - 8 = 4b - 8$$

$$3b = 0$$

$$b = 0$$

これは $b \ge 8$ を満たさない。

以上より、$b = \frac{16}{5}$。よって $[イ] = \frac{16}{5}$。

解説

2つの円に関する標準的な問題である。円の方程式は平方完成して中心と半径を明確にすることが基本となる。文字定数 $b$ が含まれるため、半径が $\sqrt{(b-8)^2} = |b-8|$ と絶対値記号を含む形になる点に注意が必要である。 (2)における共通弦の長さを求める手法は、2円の方程式から2次の項を消去して直線の式を作り、点と直線の距離の公式を用いて直角三角形を作る典型的な処理である。 (4)の2円の接する条件において、内接条件の $d = |r_1 - r_2|$ と外接条件の $d = r_1 + r_2$ を正確に立て、絶対値を含む方程式を場合分けや同値変形を用いて解き進める計算力が求められる。