数学2 円 問題 8 解説

方針・初手

通る3点が与えられているため、円の方程式の一般形 $x^2+y^2+lx+my+n=0$ を設定し、3点の座標を代入して未定係数 $l, m, n$ を求める連立方程式を解くのが定石である。また、3点を頂点とする三角形の外心として円の中心を求める図形的なアプローチも有効である。

解法1

求める円の方程式を次のようにとる。

$$x^2+y^2+lx+my+n=0$$

この円が点 $(0, -3)$ を通るから、座標を代入して

$$0^2 + (-3)^2 + 0 \cdot l - 3m + n = 0$$

整理して

$$-3m + n = -9 \quad \cdots \text{(1)}$$

点 $(8, -1)$ を通るから、代入して

$$8^2 + (-1)^2 + 8l - m + n = 0$$

整理して

$$8l - m + n = -65 \quad \cdots \text{(2)}$$

点 $(9, 0)$ を通るから、代入して

$$9^2 + 0^2 + 9l + 0 \cdot m + n = 0$$

整理して

$$9l + n = -81 \quad \cdots \text{(3)}$$

(1)より $n = 3m - 9$ となる。これを(2)と(3)に代入する。

(2)に代入：

$$8l - m + (3m - 9) = -65$$

$$8l + 2m = -56$$

$$4l + m = -28 \quad \cdots \text{(4)}$$

(3)に代入：

$$9l + (3m - 9) = -81$$

$$9l + 3m = -72$$

$$3l + m = -24 \quad \cdots \text{(5)}$$

(4)と(5)の辺々を引いて

$$(4l + m) - (3l + m) = -28 - (-24)$$

$$l = -4$$

$l = -4$ を(5)に代入して

$$3(-4) + m = -24$$

$$-12 + m = -24$$

$$m = -12$$

これらを $n = 3m - 9$ に代入して

$$n = 3(-12) - 9 = -45$$

以上より、求める円の方程式は以下のようになる。

$$x^2+y^2-4x-12y-45=0$$

次に、この円の半径を求めるために、方程式を平方完成して基本形に変形する。

$$(x^2 - 4x) + (y^2 - 12y) = 45$$

$$(x - 2)^2 - 4 + (y - 6)^2 - 36 = 45$$

$$(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 85$$

これにより、円の中心は $(2, 6)$、半径は $\sqrt{85}$ であることがわかる。

解法2

円の中心は、通る3点 $A(0, -3), B(8, -1), C(9, 0)$ を頂点とする $\triangle ABC$ の外心である。外心は各辺の垂直二等分線の交点として求められる。

線分 $AC$ について、中点の座標は $\left(\frac{9}{2}, -\frac{3}{2}\right)$ である。また、直線 $AC$ の傾きは $\frac{0 - (-3)}{9 - 0} = \frac{1}{3}$ であるから、その垂直二等分線の傾きは $-3$ となる。したがって、線分 $AC$ の垂直二等分線の方程式は

$$y - \left(-\frac{3}{2}\right) = -3\left(x - \frac{9}{2}\right)$$

$$y = -3x + 12 \quad \cdots \text{(i)}$$

線分 $BC$ について、中点の座標は $\left(\frac{17}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ である。また、直線 $BC$ の傾きは $\frac{0 - (-1)}{9 - 8} = 1$ であるから、その垂直二等分線の傾きは $-1$ となる。したがって、線分 $BC$ の垂直二等分線の方程式は

$$y - \left(-\frac{1}{2}\right) = -1\left(x - \frac{17}{2}\right)$$

$$y = -x + 8 \quad \cdots \text{(ii)}$$

円の中心は(i)と(ii)の交点である。連立して解くと

$$-3x + 12 = -x + 8$$

$$2x = 4$$

$$x = 2$$

(ii)に代入して $y = -2 + 8 = 6$ となる。よって、円の中心は $(2, 6)$ である。

円の半径 $r$ は、中心 $(2, 6)$ と点 $C(9, 0)$ との距離であるから

$$r = \sqrt{(9 - 2)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{7^2 + (-6)^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85}$$

よって、求める円の方程式は中心と半径から

$$(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 85$$

展開して整理すると

$$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 12y + 36 = 85$$

$$x^2 + y^2 - 4x - 12y - 45 = 0$$

解説

通る3点が与えられた際に円の方程式を決定する典型問題である。解法1のように $x^2+y^2+lx+my+n=0$ とおいて連立方程式を解くのが計算の手順として最も標準的で迷いが少ない。

一方、解法2のように図形的性質（外心は辺の垂直二等分線の交点）を利用する方法も有用である。特に今回のように、$x$ 座標や $y$ 座標に $0$ を含む点が複数ある場合、直線の傾きや中点の計算が容易になり、連立方程式を解くよりも計算ミスを防ぎやすくなることがある。

答え

ア：4

イウ：12

エオ：45

カキ：85