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数学2 円問題 9 解説

方針・初手

(1) は「$a$ の値に関わらず」という条件から、$a$ についての恒等式として扱う。
(2) は円の式を平方完成して標準形に変形し、中心の座標を読み取ってパラメータ $a$ を消去する。
(3) は2つの円が接する条件（中心間の距離と半径の和・差の関係）を用いる。内接と外接の両方を考慮する必要がある。

解法1

(1) 円 $D_1$ の方程式を $a$ について整理する。

$$(x^2 + y^2 - 10) - 2a(3x - y - 10) = 0$$

これが $a$ の値に関わらず成り立つ条件は、

$$\begin{cases} x^2 + y^2 - 10 = 0 \\ 3x - y - 10 = 0 \end{cases}$$

第2式より $y = 3x - 10$ である。これを第1式に代入する。

$$x^2 + (3x - 10)^2 - 10 = 0$$

展開して整理する。

$$\begin{aligned} x^2 + 9x^2 - 60x + 100 - 10 &= 0 \\ 10x^2 - 60x + 90 &= 0 \\ x^2 - 6x + 9 &= 0 \\ (x - 3)^2 &= 0 \end{aligned}$$

よって $x = 3$ である。このとき $y = 3 \cdot 3 - 10 = -1$ となる。したがって、円 $D_1$ は定点 $(3, -1)$ を通る。

(2) 円 $D_1$ の方程式を変形する。

$$(x - 3a)^2 - 9a^2 + (y + a)^2 - a^2 + 20a - 10 = 0$$

$$(x - 3a)^2 + (y + a)^2 = 10a^2 - 20a + 10$$

$$(x - 3a)^2 + (y + a)^2 = 10(a - 1)^2$$

これより、円 $D_1$ の中心 $\text{P}(s, t)$ の座標は $(3a, -a)$ である。よって $s = 3a$、$t = -a$ である。 $a$ を消去するため $a = -t$ を $s = 3a$ に代入すると、

$$s = -3t$$

$$s + 3t = 0$$

(3) (2) の変形より、円 $D_1$ の半径 $r_1$ は $\sqrt{10(a - 1)^2} = \sqrt{10}|a - 1|$ である。また、円 $D_2: x^2 + y^2 = 25$ は中心が原点 $(0, 0)$、半径 $r_2 = 5$ の円である。 2つの円の中心間の距離 $d$ は、

$$d = \sqrt{(3a - 0)^2 + (-a - 0)^2} = \sqrt{10a^2} = \sqrt{10}|a|$$

2つの円が接する条件は、$d = r_1 + r_2$ （外接）または $d = |r_1 - r_2|$ （内接）である。これを1つの式にまとめて2乗して同値変形を行う。

$$d = |r_1 \pm r_2|$$

両辺を2乗する。

$$d^2 = r_1^2 \pm 2r_1 r_2 + r_2^2$$

これに $d^2 = 10a^2$、$r_1^2 = 10(a - 1)^2$、$r_1 = \sqrt{10}|a - 1|$、$r_2^2 = 25$ を代入する。

$$10a^2 = 10(a - 1)^2 \pm 10\sqrt{10}|a - 1| + 25$$

展開して整理する。

$$10a^2 = 10a^2 - 20a + 10 \pm 10\sqrt{10}|a - 1| + 25$$

$$20a - 35 = \pm 10\sqrt{10}|a - 1|$$

両辺を5で割る。

$$4a - 7 = \pm 2\sqrt{10}|a - 1|$$

さらに両辺を2乗して絶対値を外す（右辺の複号は2乗により消滅し、左辺の符号に関わらず同値な方程式となる）。

$$16a^2 - 56a + 49 = 40(a - 1)^2$$

$$16a^2 - 56a + 49 = 40a^2 - 80a + 40$$

$$24a^2 - 24a - 9 = 0$$

$$8a^2 - 8a - 3 = 0$$

これを解いて $a$ の値を求める。

$$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot (-3)}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{4}$$

解説

(1) は「特定の文字の値に関わらず成り立つ」という恒等式の典型問題である。式を $a$ について整理し、各係数が $0$ になる条件を連立させる。
(2) は円の一般形を標準形に平方完成する基本操作である。軌跡の方程式を求める際、媒介変数 $a$ を消去する。
(3) は2円が接する条件を考える問題である。外接と内接の2つの場合があるため、絶対値を含んだ方程式を解くことになる。絶対値と複号 $\pm$ を含む式をまとめて2乗処理することで、煩雑な場合分けを回避できる。なお、半径の文字式が $\sqrt{X^2}$ の形になるため、絶対値記号を忘れないよう注意が必要である。