数学2 円と直線 問題 3 解説

方針・初手

集合 $A, B$ が表す領域を把握し、直線 $C$ がどのように動くかを考える。 直線 $C$ は $a$ の値によらず定点 $(-1, 0)$ を通ることに着目し、その定点付近で直線が領域 $A \cap B$ の内部を通るための傾き $a$ の条件を、領域の境界となる曲線の接線の傾きを用いて調べる。

解法1

集合 $A$ の不等式は $x^2 + (y-1)^2 < 2$ と変形でき、中心 $(0, 1)$、半径 $\sqrt{2}$ の円の内部（境界を含まない）を表す。 集合 $B$ の不等式は $y \leqq -x^2 + 1$ であり、上に凸な放物線 $y = -x^2 + 1$ の下側（境界を含む）を表す。 集合 $C$ の方程式は $y = a(x+1)$ であり、定点 $(-1, 0)$ を通り傾き $a$ の直線を表す。

まず、領域の形状を把握するため、円の境界 $x^2 + (y-1)^2 = 2$ と放物線 $y = -x^2 + 1$ の交点を求める。 放物線の式より $x^2 = 1-y$ であり、これを円の方程式に代入すると、

$$(1-y) + (y-1)^2 = 2$$

$$y^2 - 3y = 0$$

$$y(y-3) = 0$$

となる。領域 $B$ の条件 $y \leqq 1$ （または $x^2 \geqq 0$ より $1-y \geqq 0$）を考慮すると $y=0$ が適する。このとき $x^2 = 1$ より $x = \pm 1$ となる。 したがって、境界同士の交点は $(-1, 0)$ および $(1, 0)$ である。

点 $(-1, 0)$ は直線 $C$ が常に通る定点である。 領域 $A \cap B$ は $-1 < x < 1$ の範囲に広がり、直線 $C$ が $x > -1$ の領域で $A \cap B$ と共有点を持つ条件を考える。 点 $(-1, 0)$ から $x$ がわずかに増加したとき、直線 $C$ が円の境界より上で、放物線の境界以下にあることが必要である。これは、点 $(-1, 0)$ における円と放物線のそれぞれの接線の傾きによって制限される。

(i) 円の点 $(-1, 0)$ における接線の傾き 円の方程式 $x^2 + y^2 - 2y - 1 = 0$ を $x$ で微分すると、

$$2x + 2y y' - 2y' = 0 \implies y' = \frac{x}{1-y}$$

点 $(-1, 0)$ において $y' = -1$ である。 直線が定点付近で円の内部を通るためには、直線の傾き $a$ は $-1$ より大きくなければならない（$a > -1$）。

(ii) 放物線の点 $(-1, 0)$ における接線の傾き 放物線の式 $y = -x^2 + 1$ を微分すると $y' = -2x$ である。 点 $(-1, 0)$ において $y' = 2$ である。 直線が定点付近で放物線の下側を通るためには、直線の傾き $a$ は $2$ より小さくなければならない（$a < 2$）。

$a = 2$ のとき、直線は放物線と点 $(-1, 0)$ で接し、他の共有点を持たない。また点 $(-1, 0)$ 自身は集合 $A$ の境界上であり $A$ に含まれないため不適である。 $a = -1$ のときも、直線は円と点 $(-1, 0)$ で接し、領域内部に入らないため不適である。 したがって、求める条件はこれらを同時に満たす範囲である。

$$-1 < a < 2$$

解法2

$A \cap B$ に属する点 $(x, y)$ の満たす条件は、

$$x^2 + y^2 - 2y - 1 < 0 \quad \cdots (1)$$

$$y \leqq -x^2 + 1 \quad \cdots (2)$$

である。直線 $C$ 上の点 $(x, a(x+1))$ がこの領域に含まれるような $x$ が存在する条件を代数的に求める。

不等式 (2) に $y = a(x+1)$ を代入すると、

$$a(x+1) \leqq -x^2 + 1$$

$$x^2 + ax + a - 1 \leqq 0$$

$$(x+1)(x+a-1) \leqq 0$$

直線 $C$ が点 $(-1, 0)$ 以外の共有点を持つためには $x \neq -1$ となる交点が必要であり、放物線の下側に入る区間が存在するためには $1-a > -1$ すなわち $a < 2$ が必要である。このとき、$-1 \leqq x \leqq 1-a$ の範囲で (2) を満たす。

次に、不等式 (1) に $y = a(x+1)$ を代入すると、

$$x^2 + \{a(x+1)\}^2 - 2a(x+1) - 1 < 0$$

$$(a^2+1)x^2 + 2a(a-1)x + a^2-2a-1 < 0$$

左辺に $x = -1$ を代入すると $0$ になることを利用して因数分解すると、

$$(x+1)\{(a^2+1)x + a^2-2a-1\} < 0$$

$x > -1$ の範囲で共通部分を持つためには、$x+1 > 0$ であるから、

$$(a^2+1)x + a^2-2a-1 < 0$$

$$x < \frac{-a^2+2a+1}{a^2+1}$$

となる区間が存在する必要がある。 $x > -1$ の範囲にこのような $x$ が存在するための条件は、

$$-1 < \frac{-a^2+2a+1}{a^2+1}$$

$$-a^2 - 1 < -a^2 + 2a + 1$$

$$2a > -2 \implies a > -1$$

である。

以上より、$-1 < a < 2$ であれば、$-1$ よりわずかに大きい $x$ に対して (1) と (2) を同時に満たすことができる。

解説

不等式で表された複数の領域の共通部分を正確に捉え、境界線の交点を見つけることが第一歩となる。 直線 $C$ の方程式から定点 $(-1, 0)$ を通ることを見抜けば、その定点からの直線の傾きが境界の接線に制限されるという図形的な解法に持ち込める。 図形的に処理することが難しい場合でも、解法2のように共有点を持つ条件を不等式の解の存在条件に帰着させることで代数的に解決できる。

答え

ア：-1

イ：2