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数学2 円と直線問題 4 解説

方針・初手

円と直線が共有点をもつ条件は、円の中心と直線の距離が円の半径以下であることである。これを用いて不等式を立て、その解が与えられた範囲と一致する条件を求める。または、直線が常に通る定点に着目し、図形的に接線の傾きを考えることも有効である。

解法1

円 $x^2 + y^2 = r^2$ の中心は原点 $(0,0)$、半径は $r$ $(r > 0)$ である。直線の方程式は $y = m(x - 4) + 3$ より、

$$mx - y - 4m + 3 = 0$$

と変形できる。円と直線が共有点をもつための条件は、円の中心 $(0,0)$ と直線の距離が半径 $r$ 以下になることである。点と直線の距離の公式より、

$$\frac{|-4m + 3|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \leqq r$$

$$|3 - 4m| \leqq r\sqrt{m^2 + 1}$$

両辺ともに非負であるから、2乗しても同値である。

$$(3 - 4m)^2 \leqq r^2(m^2 + 1)$$

$$9 - 24m + 16m^2 \leqq r^2m^2 + r^2$$

整理すると、

$$(16 - r^2)m^2 - 24m + 9 - r^2 \leqq 0$$

この不等式を満たす $m$ の範囲が $0 \leqq m \leqq \text{[エ]}$ となるための条件を考える。解が閉区間となるためには、不等式の $m^2$ の係数が正でなければならない。すなわち、

$$16 - r^2 > 0$$

$$r^2 < 16$$

このとき、2次方程式 $(16 - r^2)m^2 - 24m + 9 - r^2 = 0$ の解が $m = 0$ と $m = \text{[エ]}$ になる。解と係数の関係より、

$$0 + \text{[エ]} = \frac{24}{16 - r^2}$$

$$0 \cdot \text{[エ]} = \frac{9 - r^2}{16 - r^2}$$

第2式より、

$$\frac{9 - r^2}{16 - r^2} = 0$$

よって $r^2 = 9$ である。$r > 0$ より $r = 3$ となる。これは $r^2 < 16$ を満たす。このとき第1式から、

$$\text{[エ]} = \frac{24}{16 - 3^2} = \frac{24}{7}$$

以上より、$\text{[エ]} = \frac{24}{7}$、$\text{[オ]} = 3$（すなわち $r = 3$）である。

解法2

直線 $y = m(x - 4) + 3$ は、傾きが $m$ で、定点 $(4, 3)$ を通る直線群を表す。この直線が円 $x^2 + y^2 = r^2$ と共有点をもつ $m$ の範囲が $0 \leqq m \leqq \text{[エ]}$ であるということは、定点 $(4, 3)$ が円の外部にあり、この点から円に引いた2本の接線の傾きが $0$ と $\text{[エ]}$ であることを意味する。

接線の傾きの1つが $0$ であることから、$m = 0$ のときの直線 $y = 3$ が円 $x^2 + y^2 = r^2$ に接する。原点中心の円が水平な直線 $y = 3$ に接するので、円の半径は $3$ である。したがって、$r = 3$（$\text{[オ]} = 3$）と求まる。

このとき、円の方程式は $x^2 + y^2 = 9$ である。点 $(4, 3)$ を通る直線 $mx - y - 4m + 3 = 0$ がこの円に接する条件は、原点と直線の距離が $3$ になることであるから、

$$\frac{|-4m + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3$$

両辺に $\sqrt{m^2 + 1}$ を掛けて2乗すると、

$$(3 - 4m)^2 = 9(m^2 + 1)$$

$$9 - 24m + 16m^2 = 9m^2 + 9$$

$$7m^2 - 24m = 0$$

$$m(7m - 24) = 0$$

これより $m = 0, \frac{24}{7}$ を得る。傾き $m$ がこの2つの値の間にあれば、直線は円と共有点をもつ。よって共有点をもつ範囲は $0 \leqq m \leqq \frac{24}{7}$ であり、$\text{[エ]} = \frac{24}{7}$ である。

解説

直線の方程式 $y = m(x - 4) + 3$ を見て、「定点 $(4, 3)$ を通る直線」であると見抜けるかがポイントである。これに気付けば図形的なアプローチ（解法2）が可能となり、計算量を大きく減らすことができる。特に、$m=0$ を代入して得られる直線 $y=3$ が円に接することから、半径 $r=3$ が瞬時に求まる点は見逃せない。代数的に解く場合（解法1）も、2次不等式の解と係数の関係を利用する定石通りの処理であるが、2次の係数が正であることの確認（$16 - r^2 > 0$）を忘れないようにしたい。