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数学2 円と直線問題 6 解説

方針・初手

円外の点から引いた2本の接線の接点を通る直線（極線）の方程式を求める問題である。接点の座標を文字で置き、その接点における接線が与えられた点を通るという条件式を立てることで、接点を通る直線の方程式を導出するのが定石である。また、2つの円の交点を通る図形として捉える幾何的な解法も有効である。

解法1

接点A、Bの座標をそれぞれ $(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$ とおく。

点Aにおける円 $x^2 + y^2 = 5$ の接線の方程式は、

$$x_1 x + y_1 y = 5$$

である。この接線が点 $(3, 1)$ を通るから、

$$3 x_1 + y_1 = 5$$

が成り立つ。

同様に、点Bにおける円の接線 $x_2 x + y_2 y = 5$ も点 $(3, 1)$ を通るから、

$$3 x_2 + y_2 = 5$$

が成り立つ。

上の2つの式は、点 $(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$、すなわち2点A、Bが直線 $3x + y = 5$ 上にあることを示している。異なる2点を通る直線はただ1つに決まるため、求める直線ABの方程式は $3x + y = 5$ である。

これを $y$ について解くと、

$$y = -3x + 5$$

となる。

解法2

円の中心をO $(0, 0)$、与えられた点をP $(3, 1)$ とする。直角三角形OAPにおいて、三平方の定理より接線PAの長さは、

$$\text{PA} = \sqrt{\text{OP}^2 - \text{OA}^2} = \sqrt{(3^2 + 1^2) - 5} = \sqrt{10 - 5} = \sqrt{5}$$

となる。同様に $\text{PB} = \sqrt{5}$ である。

したがって、2点A、Bは「原点Oを中心とする半径 $\sqrt{5}$ の円」と「点P $(3, 1)$ を中心とする半径 $\sqrt{5}$ の円」の交点である。点Pを中心とする円の方程式は、

$$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$$

展開して整理すると、

$$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 5 = 0$$

これと $x^2 + y^2 = 5$ の辺々を引いて2次の項を消去すると、2点A、Bを通る直線の方程式が得られる。

$$5 - 6x - 2y + 5 = 0$$

$$2y = -6x + 10$$

$$y = -3x + 5$$

解説

円 $x^2 + y^2 = r^2$ の外部の点 $(x_0, y_0)$ から引いた2本の接線の接点を通る直線は「極線」と呼ばれ、その方程式は $x_0 x + y_0 y = r^2$ となることが知られている。解法1はこの公式の導出過程をそのままなぞる標準的な解法である。記述式の試験で極線の方程式を無証明で用いるのは避けるべきであるが、本問のような穴埋め形式であれば、知識として持っておくと計算なしで即答できる。

解法2は、接点A、Bが点Pを中心とする円周上にあることを利用し、2円の交点を通る直線（根軸）を求める手法である。図形的な性質に帰着させる鮮やかな解法である。