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数学2 円と直線問題 7 解説

方針・初手

(1) は、円 $D$ の半径が線分 $\text{PT}$ の長さに等しいことに着目する。円の接線の性質から、接点 $\text{T}$ と円 $C$ の中心 $\text{O}$ を結ぶ線分と接線は垂直に交わるため、直角三角形 $\text{OTP}$ に三平方の定理を適用して $\text{PT}^2$ を求める。その後、円 $D$ の方程式を立て、点 $\text{A}$ がその円上にあるという条件を用いる。

(2) は、(1) で得られた関係式を $p$ または $a$ について整理する。不等式 $p > 1$ を示すには、$p - 1 > 0$ を示せばよい。$a$ を $p$ で表す際は、二次方程式の解の公式を用い、条件 $0 < a < 1$ を満たすものを選択する。

解法1

(1)

円 $C$ の中心は原点 $\text{O}(0, 0)$、半径は $1$ である。 $\text{PT}$ は円 $C$ の接線であり、$\text{T}$ はその接点であるから、$\text{OT} \perp \text{PT}$ となる。

直角三角形 $\text{OTP}$ において、三平方の定理より、

$$\text{PT}^2 + \text{OT}^2 = \text{OP}^2$$

が成り立つ。$\text{OP}^2 = p^2 + q^2$、$\text{OT} = 1$ であるから、

$$\text{PT}^2 = p^2 + q^2 - 1$$

となる。

円 $D$ は点 $\text{P}(p, q)$ を中心とし、点 $\text{T}$ を通るため、その半径の2乗は $\text{PT}^2$ である。したがって、円 $D$ の方程式は、

$$(x - p)^2 + (y - q)^2 = p^2 + q^2 - 1$$

と表せる。円 $D$ は点 $\text{A}(a, 0)$ を通るので、これを方程式に代入して、

$$(a - p)^2 + (0 - q)^2 = p^2 + q^2 - 1$$

$$(a - p)^2 + q^2 = p^2 + q^2 - 1$$

両辺から $q^2$ を引くことで、

$$(a - p)^2 = p^2 - 1$$

が得られ、示された。

(2)

(1) で得られた式 $(a - p)^2 = p^2 - 1$ を展開して整理する。

$$a^2 - 2ap + p^2 = p^2 - 1$$

$$2ap = a^2 + 1$$

$0 < a < 1$ であるから $a \neq 0$ であり、両辺を $2a$ で割ると、

$$p = \frac{a^2 + 1}{2a}$$

となる。ここで、$p - 1$ を計算すると、

$$p - 1 = \frac{a^2 + 1}{2a} - 1 = \frac{a^2 - 2a + 1}{2a} = \frac{(a - 1)^2}{2a}$$

$0 < a < 1$ より、$2a > 0$ かつ $(a - 1)^2 > 0$ であるから、

$$p - 1 > 0$$

すなわち、$p > 1$ であることが示された。

次に、$a$ を $p$ を用いて表す。 $a^2 - 2pa + 1 = 0$ を $a$ についての二次方程式とみて解くと、

$$a = p \pm \sqrt{p^2 - 1}$$

となる。 $p > 1$ のとき、

$$p + \sqrt{p^2 - 1} > 1$$

であり、条件 $0 < a < 1$ を満たさない。一方、もうひとつの解について分母を有理化する形に変形すると、

$$p - \sqrt{p^2 - 1} = \frac{(p - \sqrt{p^2 - 1})(p + \sqrt{p^2 - 1})}{p + \sqrt{p^2 - 1}} = \frac{1}{p + \sqrt{p^2 - 1}}$$

$p > 1$ より $p + \sqrt{p^2 - 1} > 1$ であるから、

$$0 < \frac{1}{p + \sqrt{p^2 - 1}} < 1$$

となり、こちらは $0 < a < 1$ を満たす。したがって、求める $a$ は、

$$a = p - \sqrt{p^2 - 1}$$

である。

解説

(1) は円外の点から引いた接線の長さを求める典型的な手順である。接点を通る半径と接線が直交するという図形的性質から三平方の定理を導くのが最も簡潔である。

(2) の不等式の証明では、式を変形して「左辺 $-$ 右辺 $> 0$」を示すのが定石である。$p - 1$ を計算し、因数分解を用いて正であることを示す過程はスムーズに行いたい。また、二次方程式の解の公式から得られた2つの解のうち、一方が条件に合致しないことを示す際、共役な無理数の積を用いた変形（有理化の逆の操作）を活用すると、大小関係の評価が容易になる。