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数学2 円と直線問題 8 解説

方針・初手

円の中心から直線に下ろした垂線の長さを $d$ とし、三平方の定理を用いて弦の長さを求めるのが定石である。面積 $S(a)$ を $a$ の式で表した後、(2) では微積分を用いて最大値を求める。その際、根号を含む関数の最大値となるため、二乗した関数の増減を調べると計算が簡略化される。また、直線の傾き $a$ を $\tan\theta$ と置換して三角関数の問題に帰着させる別解も有効である。

解法1

(1)

直線 $y=a(x+1)$ を変形すると、$ax-y+a=0$ となる。円 $C$ の中心 $\text{P}(0, 1)$ からこの直線に下ろした垂線の長さを $d$ とすると、点と直線の距離公式より

$$d = \frac{|a \cdot 0 - 1 + a|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{|a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}}$$

$0 < a < 1$ より $a - 1 < 0$ であるから、$|a - 1| = 1 - a$ となり

$$d = \frac{1 - a}{\sqrt{a^2 + 1}}$$

三平方の定理より、弦 $\text{QR}$ の長さの半分は $\sqrt{1^2 - d^2}$ である。根号の中を計算すると

$$\begin{aligned} 1 - d^2 &= 1 - \frac{(1 - a)^2}{a^2 + 1} \\ &= \frac{a^2 + 1 - (1 - 2a + a^2)}{a^2 + 1} \\ &= \frac{2a}{a^2 + 1} \end{aligned}$$

よって、$\text{QR} = 2\sqrt{\frac{2a}{a^2 + 1}}$ である。 $\triangle\text{PQR}$ の面積 $S(a)$ は

$$\begin{aligned} S(a) &= \frac{1}{2} \cdot \text{QR} \cdot d \\ &= \sqrt{\frac{2a}{a^2 + 1}} \cdot \frac{1 - a}{\sqrt{a^2 + 1}} \\ &= \frac{(1 - a)\sqrt{2a}}{a^2 + 1} \end{aligned}$$

(2)

$S(a) > 0$ であるから、$S(a)$ が最大となることと $\{S(a)\}^2$ が最大となることは同値である。

$$f(a) = \{S(a)\}^2 = \frac{2a(1-a)^2}{(a^2+1)^2}$$

とおく。$f(a)$ を微分すると

$$\begin{aligned} f'(a) &= \frac{\{2(1-a)^2 + 2a \cdot 2(1-a)(-1)\}(a^2+1)^2 - 2a(1-a)^2 \cdot 2(a^2+1) \cdot 2a}{(a^2+1)^4} \\ &= \frac{2(1-a)\{(1-a-2a)(a^2+1) - 4a^2(1-a)\}}{(a^2+1)^3} \\ &= \frac{2(1-a)\{(1-3a)(a^2+1) - 4a^2 + 4a^3\}}{(a^2+1)^3} \\ &= \frac{2(1-a)(a^3 - 3a^2 - 3a + 1)}{(a^2+1)^3} \end{aligned}$$

ここで、$a^3 - 3a^2 - 3a + 1 = (a+1)(a^2 - a + 1) - 3a(a+1) = (a+1)(a^2 - 4a + 1)$ であるから

$$f'(a) = \frac{2(1-a)(a+1)(a^2 - 4a + 1)}{(a^2+1)^3}$$

$0 < a < 1$ において $2(1-a)(a+1) > 0$、$(a^2+1)^3 > 0$ であるから、$f'(a)$ の符号は $a^2 - 4a + 1$ の符号と一致する。 $a^2 - 4a + 1 = 0$ の解は $a = 2 \pm \sqrt{3}$ であり、$0 < a < 1$ を満たすのは $a = 2 - \sqrt{3}$ である。 $0 < a < 1$ における $f(a)$ の増減表は以下のようになる。

$a$	$(0)$	$\cdots$	$2-\sqrt{3}$	$\cdots$	$(1)$
$f'(a)$		$+$	$0$	$-$
$f(a)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$f(a)$ すなわち $S(a)$ は $a = 2 - \sqrt{3}$ のとき最大となる。

解法2

(2)の別解

直線 $y = a(x + 1)$ は定点 $(-1, 0)$ を通り、傾きが $a$ の直線である。 $0 < a < 1$ より、$a = \tan\theta$ （$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$）とおくことができる。解法1と同様に、点 $\text{P}(0, 1)$ から直線 $ax - y + a = 0$ に下ろした垂線の長さを $d$ とすると

$$\begin{aligned} d &= \frac{1 - a}{\sqrt{a^2 + 1}} \\ &= \frac{1 - \tan\theta}{\sqrt{\tan^2\theta + 1}} \\ &= (1 - \tan\theta)\cos\theta \\ &= \cos\theta - \sin\theta \end{aligned}$$

また、両辺を二乗すると

$$\begin{aligned} d^2 &= (\cos\theta - \sin\theta)^2 \\ &= 1 - 2\sin\theta\cos\theta \\ &= 1 - \sin2\theta \end{aligned}$$

$\triangle\text{PQR}$ の面積 $S(a)$ は、弦の長さの半分が $\sqrt{1 - d^2}$ であることから

$$S(a) = d\sqrt{1 - d^2}$$

と表せる。$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ より $\cos\theta > \sin\theta$ であるから $d > 0$ であり、$S(a) > 0$ である。 $S(a)$ を二乗すると

$$\begin{aligned} \{S(a)\}^2 &= d^2(1 - d^2) \\ &= (1 - \sin2\theta)\sin2\theta \\ &= -\left(\sin2\theta - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} \end{aligned}$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ のとき $0 < \sin2\theta < 1$ であるから、$\{S(a)\}^2$ は $\sin2\theta = \frac{1}{2}$ のとき最大となる。 $0 < 2\theta < \frac{\pi}{2}$ より、$2\theta = \frac{\pi}{6}$ すなわち $\theta = \frac{\pi}{12}$ のとき最大値をとる。このときの $a$ の値は加法定理を用いて求められる。

$$\begin{aligned} a &= \tan\frac{\pi}{12} \\ &= \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) \\ &= \frac{\tan\frac{\pi}{4} - \tan\frac{\pi}{6}}{1 + \tan\frac{\pi}{4}\tan\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} \\ &= \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \\ &= \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1} \\ &= \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} \\ &= 2 - \sqrt{3} \end{aligned}$$

よって、$S(a)$ が最大となる $a$ は $a = 2 - \sqrt{3}$ である。

解説

円の弦が切り取る三角形の面積を求める典型的な問題である。中心から直線までの距離 $d$ を用いて、弦の長さを $2\sqrt{r^2-d^2}$ と表す手法は必ず押さえておく必要がある。 (2)において、そのまま $a$ で微分しようとすると平方根が含まれ計算が煩雑になるため、面積を二乗してから微分するという工夫が求められる。さらに解法2で示したように、直線の傾きを $\tan\theta$ と置換することで、微積分を回避して三角関数の合成や2次関数の最大最小問題に帰着させることができる。このようなパラメータの設定は、計算量とミスのリスクを大幅に減らすことができる非常に強力なアプローチである。