数学2 円と直線 問題 9 解説

方針・初手

与えられた方程式を平方完成し、$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ の形に変形する。方程式が円を表すための条件は、右辺にあたる「半径の2乗」の部分が正になることである。 円と直線が共有点を持つ条件は、「円の中心と直線の距離 $d$」と「円の半径 $r$」との間に $d \leqq r$ が成り立つこととして処理する。

解法1

方程式 $x^2+y^2-2mx+2my+3m^2-2m-5=0$ を変形する。

$$(x^2-2mx+m^2) + (y^2+2my+m^2) = -3m^2+2m+5+2m^2$$

$$(x-m)^2+(y+m)^2 = -m^2+2m+5$$

この方程式が円を表す条件は、右辺が正となることである。

$$-m^2+2m+5 > 0$$

$$m^2-2m-5 < 0$$

$m^2-2m-5=0$ を解くと $m = 1 \pm \sqrt{1^2 - 1 \cdot (-5)} = 1 \pm \sqrt{6}$ となるため、求める $m$ の範囲は

$$1-\sqrt{6} < m < 1+\sqrt{6} \cdots\cdots \text{②}$$

このとき、円 $C$ の中心の座標は $(m, -m)$、半径は $\sqrt{-m^2+2m+5}$ である。

円 $C$ と直線 $y=2x-1 \iff 2x-y-1=0$ が共有点を持つ条件は、円の中心 $(m, -m)$ と直線 $2x-y-1=0$ との距離 $d$ が円の半径以下になることである。

$$d = \frac{|2m - (-m) - 1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{|3m-1|}{\sqrt{5}}$$

共有点を持つ条件は $d \leqq \sqrt{-m^2+2m+5}$ であるから

$$\frac{|3m-1|}{\sqrt{5}} \leqq \sqrt{-m^2+2m+5}$$

両辺はともに $0$ 以上であるから、両辺を2乗して同値変形する。

$$\frac{(3m-1)^2}{5} \leqq -m^2+2m+5$$

$$9m^2-6m+1 \leqq -5m^2+10m+25$$

$$14m^2-16m-24 \leqq 0$$

$$7m^2-8m-12 \leqq 0$$

$$(7m+6)(m-2) \leqq 0$$

これを解くと

$$-\frac{6}{7} \leqq m \leqq 2$$

この範囲は条件②を満たす。

さらに、$m=2$ のとき、円 $C$ の中心 $(m, -m)$ と直線 $2x-y-1=0$ との距離 $d$ を求める。上で求めた距離 $d$ の式に $m=2$ を代入する。

$$d = \frac{|3 \cdot 2 - 1|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$$

解説

図形と方程式の基本的な考え方を問う問題である。 「円と直線が共有点を持つ」「円と直線が接する」などの条件は、連立して2次方程式の判別式 $D \geqq 0$ または $D = 0$ を用いる手法もあるが、本問のように「点と直線の距離」と「半径」の大小関係を用いるほうが計算量を抑えられることが多い。

答え

[ア] $1-\sqrt{6}$

[イ] $1+\sqrt{6}$

[ウ] $-\frac{6}{7}$

[エ] $2$

[オ] $\sqrt{5}$