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数学2 円と直線問題 11 解説

方針・初手

円外の点から引いた接線を求めるため、接点の座標を文字でおく。接点における接線の方程式を立式し、それが与えられた点を通る条件と、接点が円周上にある条件から連立方程式を導く。後半の円の方程式は、求めた2つの接点と与えられた点を通ることから、円の一般形に代入して連立方程式を解くか、接線と半径が直交するという幾何的な性質を利用して導出する。

解法1

接点の座標を $(x_1, y_1)$ とおく。この接点における円 $x^2+y^2=25$ の接線の方程式は、

$$x_1x + y_1y = 25$$

である。この直線が点 $(7, 1)$ を通るので、

$$7x_1 + y_1 = 25 \quad \cdots \text{①}$$

が成り立つ。また、接点 $(x_1, y_1)$ は円上の点であるから、

$$x_1^2 + y_1^2 = 25 \quad \cdots \text{②}$$

が成り立つ。 ①より $y_1 = 25 - 7x_1$ であり、これを②に代入して整理する。

$$\begin{aligned} x_1^2 + (25 - 7x_1)^2 &= 25 \\ x_1^2 + 625 - 350x_1 + 49x_1^2 &= 25 \\ 50x_1^2 - 350x_1 + 600 &= 0 \\ x_1^2 - 7x_1 + 12 &= 0 \\ (x_1 - 3)(x_1 - 4) &= 0 \end{aligned}$$

これより、$x_1 = 3, 4$ を得る。 $x_1 = 3$ のとき、①より $y_1 = 25 - 21 = 4$ $x_1 = 4$ のとき、①より $y_1 = 25 - 28 = -3$ したがって、接点の座標は $x$ 座標の小さい方から順に $(3, 4)$ および $(4, -3)$ である。接線の方程式はそれぞれ

$$3x + 4y = 25, \quad 4x - 3y = 25$$

となる。

次に、2つの接点 $(3, 4), (4, -3)$ と点 $(7, 1)$ を通る円の方程式を求める。求める円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおく。 3点の座標をそれぞれ代入すると、以下の連立方程式が得られる。

$$\begin{cases} 49 + 1 + 7l + m + n = 0 \\ 9 + 16 + 3l + 4m + n = 0 \\ 16 + 9 + 4l - 3m + n = 0 \end{cases}$$

整理すると、

$$\begin{cases} 7l + m + n + 50 = 0 \quad \cdots \text{③} \\ 3l + 4m + n + 25 = 0 \quad \cdots \text{④} \\ 4l - 3m + n + 25 = 0 \quad \cdots \text{⑤} \end{cases}$$

④ $-$ ⑤ より、

$$-l + 7m = 0 \implies l = 7m$$

③ $-$ ④ より、

$$4l - 3m + 25 = 0$$

これに $l = 7m$ を代入して、

$$28m - 3m + 25 = 0 \implies 25m = -25 \implies m = -1$$

したがって $l = -7$ である。これらを④に代入して、

$$-21 - 4 + n + 25 = 0 \implies n = 0$$

よって、求める円の方程式は $x^2 + y^2 - 7x - y = 0$ である。これを平方完成して中心と半径の2乗がわかる形に変形する。

$$\begin{aligned} \left( x - \frac{7}{2} \right)^2 - \frac{49}{4} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} &= 0 \\ \left( x - \frac{7}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{1}{2} \right)^2 &= \frac{50}{4} \\ \left( x - \frac{7}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{1}{2} \right)^2 &= \frac{25}{2} \end{aligned}$$

解法2

後半の「2つの接点と点 $(7, 1)$ を通る円の方程式」について、幾何的性質を用いて求める別解を示す。

与えられた円の中心を $O(0, 0)$、円外の点を $P(7, 1)$、2つの接点を $A(3, 4), B(4, -3)$ とする。円の接線は接点を通る半径と垂直に交わるため、

$$\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$$

である。したがって、円周角の定理の逆より、4点 $O, A, P, B$ は同一円周上にあり、その円は線分 $OP$ を直径とする円である。求める円は3点 $A, B, P$ を通る円であるから、この線分 $OP$ を直径とする円に他ならない。円の中心は線分 $OP$ の中点であるから、その座標は

$$\left( \frac{0 + 7}{2}, \frac{0 + 1}{2} \right) = \left( \frac{7}{2}, \frac{1}{2} \right)$$

である。また、半径の2乗は、中心と原点との距離の2乗に等しく、

$$\left( \frac{7}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{1}{2} - 0 \right)^2 = \frac{49}{4} + \frac{1}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$$

となる。よって、求める円の方程式は、

$$\left( x - \frac{7}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{25}{2}$$

である。

解説

円外の点から引いた接線を求める定番の解法は、接点の座標を文字でおくことである。これにより、接点に関する2つの条件式を連立させて解くことができる。また、円外の点から引いた2本の接線の接点と、元の円の中心、および円外の点の4点は、円外の点と元の円の中心を結ぶ線分を直径とする同一円周上にある。この幾何的性質を知っていると、後半の3点を通る円の方程式を求める計算量を劇的に減らすことができるため、実践的なテクニックとして押さえておきたい。