数学2 円と直線 問題 13 解説

方針・初手

(1) 直線の方程式を $a$ について整理し、$a$ についての恒等式となる条件を求める。

(2) 円の中心と直線の距離 $d$ を求め、円の半径 $r$ との大小関係により共有点の個数を分類する。

(3) 円の中心、直線、弦で作られる直角三角形に着目し、三平方の定理から中心と直線の距離 $d$ を定めて方程式を解く。

解法1

(1)

直線 $l$ の方程式 $y = ax - 3a + 4$ を $a$ について整理すると、

$$a(x - 3) - (y - 4) = 0$$

これが $a$ の値に関係なく成り立つための条件は、

$$x - 3 = 0 \quad \text{かつ} \quad y - 4 = 0$$

すなわち、$x = 3, y = 4$ である。 したがって、直線 $l$ は $a$ の値に関係なく定点 $\text{P}(3, 4)$ を通る。

(2)

円 $C$ の方程式 $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$ を変形すると、

$$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$$

となる。したがって、円 $C$ の中心を $\text{C}$ とすると $\text{C}(1, 1)$、半径 $r$ は $\sqrt{2}$ である。

直線 $l$ の方程式を一般形で表すと $ax - y - 3a + 4 = 0$ となる。 円の中心 $\text{C}(1, 1)$ と直線 $l$ との距離を $d$ とすると、点と直線の距離の公式より、

$$d = \frac{|a \cdot 1 - 1 - 3a + 4|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2a + 3|}{\sqrt{a^2 + 1}}$$

共有点の個数は、距離 $d$ と半径 $r = \sqrt{2}$ の大小関係によって決まる。 大小を比較しやすくするため、平方して比べる。

$$d^2 - r^2 = \frac{(-2a + 3)^2}{a^2 + 1} - 2 = \frac{4a^2 - 12a + 9 - 2(a^2 + 1)}{a^2 + 1} = \frac{2a^2 - 12a + 7}{a^2 + 1}$$

分母の $a^2 + 1$ は常に正であるから、$d^2 - r^2$ の符号は分子 $2a^2 - 12a + 7$ の符号と一致する。 $2a^2 - 12a + 7 = 0$ を解くと、

$$a = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 14}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{22}}{2}$$

よって、共有点の個数は以下のようになる。

(i) $2a^2 - 12a + 7 > 0$ すなわち $a < \frac{6 - \sqrt{22}}{2}, \frac{6 + \sqrt{22}}{2} < a$ のとき $d > r$ となるから、共有点の個数は 0個 である。

(ii) $2a^2 - 12a + 7 = 0$ すなわち $a = \frac{6 \pm \sqrt{22}}{2}$ のとき $d = r$ となるから、直線 $l$ は円 $C$ に接し、共有点の個数は 1個 である。

(iii) $2a^2 - 12a + 7 < 0$ すなわち $\frac{6 - \sqrt{22}}{2} < a < \frac{6 + \sqrt{22}}{2}$ のとき $d < r$ となるから、直線 $l$ は円 $C$ と2点で交わり、共有点の個数は 2個 である。

(3)

円 $C$ が直線 $l$ と2点で交わるとき、その切り取られる線分（弦）の長さを $L$ とする。 円の中心 $\text{C}$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足を $\text{H}$ とすると、$\text{CH} = d$ である。 三平方の定理より、

$$\left(\frac{L}{2}\right)^2 + d^2 = r^2$$

が成り立つ。条件より $L = 1$、$r = \sqrt{2}$ であるから、

$$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + d^2 = (\sqrt{2})^2$$

$$d^2 = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$$

(2) で求めた $d^2 = \frac{4a^2 - 12a + 9}{a^2 + 1}$ を代入する。

$$\frac{4a^2 - 12a + 9}{a^2 + 1} = \frac{7}{4}$$

分母をはらって整理する。

$$4(4a^2 - 12a + 9) = 7(a^2 + 1)$$

$$16a^2 - 48a + 36 = 7a^2 + 7$$

$$9a^2 - 48a + 29 = 0$$

これを解くと、

$$a = \frac{24 \pm \sqrt{24^2 - 9 \cdot 29}}{9} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 261}}{9} = \frac{24 \pm \sqrt{315}}{9} = \frac{24 \pm 3\sqrt{35}}{9} = \frac{8 \pm \sqrt{35}}{3}$$

この $a$ の値を満たすとき、$d^2 = \frac{7}{4} < r^2 = 2$ となるため、確かに直線 $l$ と円 $C$ は2点で交わる。よってこれらは適する。

解説

図形と方程式の分野における、直線と円の基本的な融合問題である。 (1)の「定点を通る直線の扱い」、(2)の「円と直線の位置関係の判定（点と直線の距離の利用）」、(3)の「弦の長さと三平方の定理の利用」はどれも頻出の典型処理である。 (2)では直線の方程式を円の方程式に代入し、判別式 $D$ を用いる手法もあるが、本解のように円の中心と直線の距離 $d$ を用いた方が計算量が少なく済むことが多い。 (3)において、最後に求めた $a$ が「2点で交わる」という前提条件を満たしていることの確認を忘れないようにしたい。本解のように $d$ の値から必然的に交点を持つことを述べるか、(2)で求めた $a$ の範囲を満たすことを言及するとよい。

答え

(1)

$(3, 4)$

(2)

$a < \frac{6 - \sqrt{22}}{2}, \frac{6 + \sqrt{22}}{2} < a$ のとき、0個

$a = \frac{6 \pm \sqrt{22}}{2}$ のとき、1個

$\frac{6 - \sqrt{22}}{2} < a < \frac{6 + \sqrt{22}}{2}$ のとき、2個

(3)

$a = \frac{8 \pm \sqrt{35}}{3}$