トップ› 基礎問題› 数学2› 図形と式› 円と直線› 問題 14

数学2 円と直線問題 14 解説

方針・初手

点 $\text{P}$、$\text{Q}$ における接線が直交するという幾何学的な条件から、四角形 $\text{APRQ}$ の形状を決定する。これにより、面積や点 $\text{A}$ から直線 $l$ に下ろした垂線の長さがわかる。後半の (3) では、接点の座標から接線の方程式を立て、それが点 $\text{R}$ を通るという条件式を読み替えることで、直線 $\text{PQ}$ の方程式を点 $\text{R}$ の座標を用いて簡潔に表す手法（極線の考え方）が有効である。

解法1

(1)

円 $C$ の中心は $\text{A}(1, 1)$、半径は $r = 1$ である。点 $\text{P}$、$\text{Q}$ における円 $C$ の接線の交点を $\text{R}$ とする。円の接線は接点を通る半径と垂直であるから、$\angle\text{APR} = \angle\text{AQR} = 90^\circ$ である。条件より 2 本の接線は直交するので、$\angle\text{PRQ} = 90^\circ$ である。四角形 $\text{APRQ}$ の内角の和を考えて、

$$\angle\text{PAQ} = 360^\circ - (\angle\text{APR} + \angle\text{AQR} + \angle\text{PRQ}) = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 90^\circ) = 90^\circ$$

また、$\text{AP} = \text{AQ} = r = 1$ であるから、$\triangle\text{APQ}$ は $\text{A}$ を直角の頂点とする直角二等辺三角形である。よって、その面積 $S$ は

$$S = \frac{1}{2} \cdot \text{AP} \cdot \text{AQ} \cdot \sin 90^\circ = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$$

(2)

直線 $l$ は原点を通るので、その方程式を $x = 0$ または $y = mx$ とおく。

(i) 直線 $l$ が $x = 0$（$y$ 軸）のとき

中心 $\text{A}(1, 1)$ から直線 $l: x = 0$ までの距離 $d$ は $d = 1$ である。一方、(1) より $\triangle\text{APQ}$ は直角二等辺三角形であるから、斜辺 $\text{PQ}$ の長さは $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ である。点 $\text{A}$ から直線 $\text{PQ}$（すなわち $l$）に下ろした垂線の長さ $d'$ は

$$d' = \text{AP} \sin 45^\circ = 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

これは $d = 1$ と矛盾するため、直線 $l$ は $y$ 軸ではない。

(ii) 直線 $l$ が $y = mx$、すなわち $mx - y = 0$ のとき

中心 $\text{A}(1, 1)$ から直線 $l$ までの距離 $d'$ は

$$d' = \frac{|m \cdot 1 - 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|m - 1|}{\sqrt{m^2 + 1}}$$

これが $\frac{1}{\sqrt{2}}$ に等しいから、

$$\frac{|m - 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

両辺を 2 乗して整理する。

$$\frac{(m - 1)^2}{m^2 + 1} = \frac{1}{2}$$

$$2(m^2 - 2m + 1) = m^2 + 1$$

$$m^2 - 4m + 1 = 0$$

これを解いて、

$$m = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$$

これは実数であり条件を満たす。以上より、直線 $l$ の傾きは $2 \pm \sqrt{3}$ である。

(3)

点 $\text{R}$ の座標を $(X, Y)$ とする。点 $\text{P}(x_1, y_1)$ における円 $C: (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$ の接線の方程式は、

$$(x_1 - 1)(x - 1) + (y_1 - 1)(y - 1) = 1$$

と表される。この接線が点 $\text{R}(X, Y)$ を通るから、

$$(x_1 - 1)(X - 1) + (y_1 - 1)(Y - 1) = 1$$

が成り立つ。同様に、点 $\text{Q}(x_2, y_2)$ における接線も点 $\text{R}(X, Y)$ を通るから、

$$(x_2 - 1)(X - 1) + (y_2 - 1)(Y - 1) = 1$$

が成り立つ。これら 2 つの式は、2 点 $\text{P}(x_1, y_1)$、$\text{Q}(x_2, y_2)$ が直線

$$(X - 1)(x - 1) + (Y - 1)(y - 1) = 1$$

上にあることを示している。この直線こそが、$\text{P}$、$\text{Q}$ を通る直線 $l$ である。直線 $l$ は原点 $(0, 0)$ を通るから、上の直線の方程式に $x = 0, y = 0$ を代入して、

$$(X - 1)(0 - 1) + (Y - 1)(0 - 1) = 1$$

$$- (X - 1) - (Y - 1) = 1$$

$$X + Y = 1 \quad \cdots \text{①}$$

また、(1) より四角形 $\text{APRQ}$ はすべての角が $90^\circ$ であり、隣り合う辺の長さが $\text{AP} = \text{AQ} = 1$ であるから、一辺の長さが $1$ の正方形である。よって、対角線 $\text{AR}$ の長さは $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ である。すなわち、$\text{AR}^2 = 2$ より、

$$(X - 1)^2 + (Y - 1)^2 = 2 \quad \cdots \text{②}$$

①より $Y = 1 - X$ を②に代入して、

$$(X - 1)^2 + (1 - X - 1)^2 = 2$$

$$(X - 1)^2 + (-X)^2 = 2$$

$$2X^2 - 2X - 1 = 0$$

これを解いて、

$$X = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$$

$Y = 1 - X$ であるから、

$X = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ のとき $Y = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

$X = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ のとき $Y = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

したがって、求める点 $\text{R}$ の座標は $\left( \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \right)$、$\left( \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \right)$ である。

解法2

(3) の別解

線分 $\text{AR}$ と直線 $l$ の交点を $\text{M}$ とする。四角形 $\text{APRQ}$ は正方形であるから、対角線 $\text{AR}$ と $\text{PQ}$ は直交し、互いの中点で交わる。よって、点 $\text{M}$ は線分 $\text{AR}$ の中点であり、直線 $\text{AR}$ は直線 $l$ に垂直である。点 $\text{R}$ の座標を $(X, Y)$ とすると、中点 $\text{M}$ の座標は $\left( \frac{X + 1}{2}, \frac{Y + 1}{2} \right)$ である。点 $\text{M}$ は原点を通る直線 $l$ 上にあるから、(2) で求めた $l$ の方程式 $mx - y = 0$ （$m = 2 \pm \sqrt{3}$）に代入して、

$$m \cdot \frac{X + 1}{2} - \frac{Y + 1}{2} = 0$$

$$Y = mX + m - 1 \quad \cdots \text{③}$$

また、直線 $\text{AR}$ の傾きは $\frac{Y - 1}{X - 1}$ であり、これが直線 $l$ に垂直であるから、

$$m \cdot \frac{Y - 1}{X - 1} = -1$$

$$m(Y - 1) = - (X - 1)$$

③を代入して整理する。

$$m(mX + m - 2) = -X + 1$$

$$m^2 X + m^2 - 2m = -X + 1$$

$$(m^2 + 1)X = -m^2 + 2m + 1$$

ここで、(2) より $m^2 - 4m + 1 = 0$ であるから $m^2 = 4m - 1$ となり、これを代入すると、

$$(4m - 1 + 1)X = -(4m - 1) + 2m + 1$$

$$4mX = -2m + 2$$

$$X = \frac{-2m + 2}{4m} = \frac{-m + 1}{2m}$$

$m = 2 + \sqrt{3}$ のとき、

$$X = \frac{-(2 + \sqrt{3}) + 1}{2(2 + \sqrt{3})} = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2(2 + \sqrt{3})} = \frac{(-1 - \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}{2(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{-2 + \sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 3}{2(4 - 3)} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$$

このとき③より、

$$Y = (2 + \sqrt{3}) \frac{1 - \sqrt{3}}{2} + (2 + \sqrt{3}) - 1 = \frac{2 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3}{2} + 1 + \sqrt{3} = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} + \frac{2 + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$$

$m = 2 - \sqrt{3}$ のとき、

$$X = \frac{-(2 - \sqrt{3}) + 1}{2(2 - \sqrt{3})} = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2(2 - \sqrt{3})} = \frac{(-1 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{2(4 - 3)} = \frac{-2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 3}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$$

このとき③より、

$$Y = (2 - \sqrt{3}) \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + (2 - \sqrt{3}) - 1 = \frac{2 + 2\sqrt{3} - \sqrt{3} - 3}{2} + 1 - \sqrt{3} = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2} + \frac{2 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$$

以上より、求める点 $\text{R}$ の座標は $\left( \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \right)$、$\left( \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \right)$ である。

解説

(3) における「極線」の考え方は難関大で頻出のテクニックである。接点の座標を文字で置き、それぞれの接線の方程式を立てる。それらが共通の点 $\text{R}$ を通るという条件を「2 つの接点が、特定の直線（極線）上にある」と読み替えることで、接点の座標を直接求めずとも接点を通る直線の方程式を立式できる。解法2のように幾何学的性質（対角線の直交と二等分）を用いて連立方程式を立てる手法も汎用性が高い。その際、方程式 $m^2 - 4m + 1 = 0$ を用いて次数下げを行うと、無理数の煩雑な計算を減らすことができる。