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数学2 円と直線問題 15 解説

方針・初手

(1) 平面座標上の円の方程式を標準形に変形し、中心と半径を読み取る。 (2) 円と直線が異なる2点で交わる条件は、「円の中心と直線の距離 $d$」が「円の半径 $r$」より小さいこと（$d < r$）を利用する。 (3) 円の弦の長さに関する問題は、円の中心、直線、弦の端点がなす直角三角形に三平方の定理を用いるのが定石である。

解法1

(1) 与えられた円の方程式 $x^2 + y^2 - 2y = 0$ を平方完成する。

$$x^2 + (y - 1)^2 - 1 = 0$$

$$x^2 + (y - 1)^2 = 1$$

したがって、中心の座標は $(0, 1)$、半径は $1$ である。

(2) 円と直線が異なる2点で交わるための条件は、円の中心 $(0, 1)$ と直線 $ax - y + 2a = 0$ の距離 $d$ が、円の半径 $1$ よりも小さいことである。点と直線の距離の公式より、

$$d = \frac{|a \cdot 0 - 1 + 2a|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{|2a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}}$$

$d < 1$ であるから、

$$\frac{|2a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}} < 1$$

両辺に $\sqrt{a^2 + 1} (>0)$ を掛けて、

$$|2a - 1| < \sqrt{a^2 + 1}$$

両辺ともに正であるから、2乗しても不等号の向きは変わらない。

$$(2a - 1)^2 < a^2 + 1$$

$$4a^2 - 4a + 1 < a^2 + 1$$

$$3a^2 - 4a < 0$$

$$a(3a - 4) < 0$$

よって、求める $a$ の値の範囲は

$$0 < a < \frac{4}{3}$$

(3) 円の中心を $\text{C}(0, 1)$ とする。中心 $\text{C}$ から直線に下ろした垂線の足を $\text{H}$ とすると、$\text{CH} = d$ であり、$\text{H}$ は弦 $\text{PQ}$ の中点となる。直角三角形 $\text{CPH}$ において、三平方の定理より

$$\text{CH}^2 + \text{PH}^2 = \text{CP}^2$$

ここで、$\text{CP}$ は円の半径であるから $\text{CP} = 1$、$\text{PH} = \frac{1}{2}\text{PQ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ である。

$$d^2 + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 1^2$$

$$d^2 + \frac{1}{2} = 1$$

$$d^2 = \frac{1}{2}$$

(2) より $d = \frac{|2a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}}$ であるから、

$$\left( \frac{|2a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}} \right)^2 = \frac{1}{2}$$

$$\frac{(2a - 1)^2}{a^2 + 1} = \frac{1}{2}$$

$$2(4a^2 - 4a + 1) = a^2 + 1$$

$$8a^2 - 8a + 2 = a^2 + 1$$

$$7a^2 - 8a + 1 = 0$$

$$(7a - 1)(a - 1) = 0$$

これを解いて、

$$a = \frac{1}{7}, 1$$

これらの値は、(2) で求めた条件 $0 < a < \frac{4}{3}$ を満たしている。

解法2

(2) において、円の方程式 $x^2 + y^2 - 2y = 0$ と直線の方程式 $y = ax + 2a$ を連立させて、交点の $x$ 座標に関する2次方程式を作成し、判別式 $D > 0$ を用いる解法。

円の方程式に $y = a(x + 2)$ を代入する。

$$x^2 + \{a(x + 2)\}^2 - 2a(x + 2) = 0$$

$$x^2 + a^2(x^2 + 4x + 4) - 2ax - 4a = 0$$

$$(a^2 + 1)x^2 + (4a^2 - 2a)x + 4a^2 - 4a = 0$$

円と直線が異なる2点で交わる条件は、この $x$ についての2次方程式が異なる2つの実数解をもつことである。判別式を $D$ とすると、$D > 0$ となればよい。

$$\frac{D}{4} = (2a^2 - a)^2 - (a^2 + 1)(4a^2 - 4a) > 0$$

$$a^2(2a - 1)^2 - 4a(a^2 + 1)(a - 1) > 0$$

$$a^2(4a^2 - 4a + 1) - 4a(a^3 - a^2 + a - 1) > 0$$

$$4a^4 - 4a^3 + a^2 - 4a^4 + 4a^3 - 4a^2 + 4a > 0$$

$$-3a^2 + 4a > 0$$

$$3a^2 - 4a < 0$$

$$a(3a - 4) < 0$$

よって、

$$0 < a < \frac{4}{3}$$

解説

図形と方程式の分野における、円と直線の関係を問う典型問題である。 (1) は円の方程式の基本変形である。 (2) は「点と直線の距離の公式」を用いる方法と「連立方程式の判別式」を用いる方法の2通りが考えられる。計算量やミスを防ぐ観点からは、解法1の「点と直線の距離」を用いる方針が優れている場合が多い。 (3) は弦の長さを扱う際のお決まりのアプローチである。「中心から直線に引いた垂線」「円の半径」「弦の半分の長さ」が直角三角形をなすことを利用して三平方の定理に帰着させることで、計算を簡略化できる。交点の座標を直接求めようとすると計算が非常に煩雑になるため避けるべきである。