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数学2 円と直線問題 17 解説

方針・初手

(1) は、原点を通る直線を $y=mx$ と設定し、円 $C$ の中心と直線の距離が半径に等しいという条件から傾き $m$ を求める。 (2) は、条件を満たす円の中心 P の座標を $(x,y)$ とおき、$x$ 軸に接する条件（半径が $|y|$ であること）と、円 $C$ に外接する条件（中心間の距離が半径の和に等しいこと）から関係式を導く。絶対値記号を外す際の場合分けに注意する。 (3) は、(2) で求めた軌跡上に中心があることと、直線 $\ell$ に接する条件を連立して半径を求める。

解法1

(1)

円 $C$ の方程式 $x^2+y^2-10x-10y+49=0$ を変形すると、

$$(x-5)^2 + (y-5)^2 = 1$$

となるから、円 $C$ の中心は $(5, 5)$、半径は $1$ である。

原点 O を通る直線を $mx-y=0$ とおくと、これが円 $C$ に接するとき、円の中心 $(5, 5)$ と直線の距離が半径 $1$ に等しいので、

$$\frac{|m \cdot 5 - 5|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}} = 1$$

$$|5m-5| = \sqrt{m^2+1}$$

両辺を2乗して整理する。

$$25(m-1)^2 = m^2+1$$

$$25m^2 - 50m + 25 = m^2 + 1$$

$$24m^2-50m+24 = 0$$

$$12m^2-25m+12 = 0$$

$$(3m-4)(4m-3) = 0$$

よって、$m = \frac{4}{3}, \frac{3}{4}$ を得る。直線 $\ell$ は傾きが大きい方であるから、$\ell$ の傾きは $\frac{4}{3}$ である。

(2)

求める円の中心 P の座標を $(x, y)$ とする。この円が $x$ 軸に接するとき、その半径は $|y|$ と表せる。また、この円が円 $C$ に外接するとき、2円の中心間の距離は半径の和に等しいので、

$$\sqrt{(x-5)^2+(y-5)^2} = |y| + 1$$

両辺を2乗して整理する。

$$(x-5)^2 + (y-5)^2 = y^2 + 2|y| + 1$$

$$(x-5)^2 + y^2 - 10y + 25 = y^2 + 2|y| + 1$$

$$(x-5)^2 - 10y + 24 = 2|y|$$

ここで、$y$ の符号によって場合分けを行う。

(i) $y \geqq 0$ のとき $|y|=y$ であるから、

$$(x-5)^2 - 10y + 24 = 2y$$

$$12y = (x-5)^2 + 24$$

$$y = \frac{1}{12}(x-5)^2 + 2$$

となる。このとき、すべての実数 $x$ に対して $y \geqq 2$ となり、仮定 $y \geqq 0$ を満たす。

(ii) $y < 0$ のとき $|y|=-y$ であるから、

$$(x-5)^2 - 10y + 24 = -2y$$

$$8y = (x-5)^2 + 24$$

$$y = \frac{1}{8}(x-5)^2 + 3$$

となる。しかし、すべての実数 $x$ に対して $y \geqq 3$ となり、仮定 $y < 0$ に矛盾する。したがって、この場合は不適である。

以上より、中心 P の描く軌跡の方程式は

$$y = \frac{1}{12}(x-5)^2 + 2$$

である。

(3)

(1)より、直線 $\ell$ の方程式は $y = \frac{4}{3}x$、すなわち $4x-3y=0$ である。求める円の半径を $r \ (r > 0)$ とすると、この円は $x$ 軸に接し、かつ(2)の考察から中心の $y$ 座標も正であるため、中心の座標は $(x, r)$ とおける。

この円が直線 $\ell$ にも接するとき、中心 $(x, r)$ と $\ell$ の距離が半径 $r$ に等しいので、

$$\frac{|4x-3r|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = r$$

$$|4x-3r| = 5r$$

これより、$4x-3r = \pm 5r$ となるため、

$$x = 2r \quad \text{または} \quad x = -\frac{1}{2}r$$

を得る。また、この円は円 $C$ と外接するので、(2)で求めた軌跡上に中心 $(x, r)$ が存在する。すなわち、$r = \frac{1}{12}(x-5)^2 + 2$ より、次の関係式が成り立つ。

$$12r = (x-5)^2 + 24$$

(i) $x = 2r$ のとき

$$12r = (2r-5)^2 + 24$$

$$12r = 4r^2 - 20r + 25 + 24$$

$$4r^2 - 32r + 49 = 0$$

これを $r$ について解くと、

$$r = \frac{16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 49}}{4} = \frac{16 \pm \sqrt{256-196}}{4} = \frac{16 \pm 2\sqrt{15}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{15}}{4}$$

$\sqrt{15} < \sqrt{16} = 4$ であるから、$8 - \sqrt{15} > 0$ であり、これらはともに $r > 0$ を満たす。

(ii) $x = -\frac{1}{2}r$ のとき

$$12r = \left(-\frac{1}{2}r-5\right)^2 + 24$$

$$12r = \frac{1}{4}r^2 + 5r + 25 + 24$$

両辺を4倍して整理する。

$$48r = r^2 + 20r + 196$$

$$r^2 - 28r + 196 = 0$$

$$(r-14)^2 = 0$$

よって $r = 14$ となり、これは $r > 0$ を満たす。

(i), (ii)より、条件を満たす円の半径はすべて求められた。

解説

円と直線、および円と円が接する条件を正確に立式し、代数的に処理する力が問われる典型問題である。(2)で中心の $y$ 座標の符号によって場合分けを行い、負の領域には条件を満たす円が存在しないことを確認する過程が重要である。(3)では、$\ell$ と $x$ 軸の両方に接する条件から、中心が2直線のなす角の二等分線（$x = 2y$ または $x = -\frac{1}{2}y$）上にあることを利用して立式すると見通しが良い。